Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
N
j
: :
j
N
j
:
H
e
e
b
e
z
(9.2)
0
0
l
l
1
Mit der Exponentialform der Nullstellen
e
M
j
(9.3)
z
U
0
l
0
l
0
l
erhält man nach elementarem Umformen den
Betragsfrequenzgang
N
j
:
2
He
b
12
U
co (
:
MU
)
(9.4)
0
0
l
0
l
0
l
l
1
und den Frequenzgang der Dämpfung, kurz
Dämpfungsfrequenzgang
genannt,
N
a
()
:
2
20 lg
b
10 lg 1
2
U
cos(
:
MU
)
¦
(9.5)
0
0
l
0
l
0
l
dB
1
l
Jede Nullstelle liefert einen multiplikativen Anteil zum Betragsfrequenzgang (9.4). Für die
Dämpfung erhält man im logarithmischen Maß additive Beiträge (9.5), was insbesondere bei
der Abschätzung des Dämpfungsfrequenzganges mit dem Bode-Diagramm benutzt wird.
Um den Einfluss einer Nullstelle auf das Übertragungsverhalten des Systems festzustellen, ist
es nützlich, die möglichen Beiträge in (9.4) bzw. (9.5) allgemein zu diskutieren. Dabei sind für
reellwertige Systeme
zwei wichtige Fälle zu unterscheiden: Beiträge einer reellen Nullstelle
und eines konjugiert komplexen Nullstellenpaares.
Anmerkung:
Systeme sind reellwertig, wenn sie auf reelle Eingangssignale stets mit reellen Ausgangs-
signalen reagieren. Sie bilden den üblichen Fall in der Signalverarbeitung. Komplexe Systeme können in
reelle Teilsysteme zerlegt werden.
Zunächst wird der Fall einer reellen Nullstelle betrachtet und ihr Beitrag zum Betragsfrequenz-
gang in Bild 9-1 dargestellt.
j
:
2
He
12
U
co ()
:
U
(9.6)
0
0
0
In Bild 9-1 rechts ist das Ergebnis zu sehen. Für den Betrag (Modul) U
0
= 1 liegt die Nullstelle
auf dem Einheitskreis, |
z
| = 1, und der Frequenzgang nimmt dort den Wert null an.
Grundsätzlich kann beobachtet werden: Der Einfluss einer Nullstelle auf den Frequenzgang ist
um so ausgeprägter, je näher die Nullstelle am Einheitskreis liegt und je geringer die Differenz
zwischen der betrachteten normierten Kreisfrequenz : und der Phase der Nullstelle (Argu-
ment) M
0
ist.
Für den wichtigen Fall eines reellwertigen Systems treten Nullstellen entweder rein reell oder
als konjugiert komplexe Paare auf, siehe Bild 9-2. Die Beiträge eines konjugiert komplexen
Nullstellenpaares zum Betragsfrequenzgang
j
:
2
2
He
12
U
co (
:
MU U
)
12
co (
:
MU
)
(9.7)
0
k
0
l
0
l
0
l
0
l
0
l
0
l
