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8.4.3
Goertzel-Algorithmus 2. Ordnung
Der Goertzel-Algorithmus kann noch etwas effizienter gestaltet werden. Dazu betrachten wird
die sich aus der Differenzengleichung 1. Ordnung (8.13) ergebende Übertragungsfunktion
(8.35)
1
1
Hz
()
(8.45)
1
1
1
az
1
exp
jk
2
S
N
z
1
Durch geschicktes Erweitern können die Nennerkoeffizienten reell gemacht werden. Es gilt
*1
*1
1
az
1
az
1
1
Hz
()
2
1
*
1
1
2
1
az
1
a z
12Re
az
a z
1
1
1
1
(8.46)
1
1exp
jk
2
S
N
z
1
2
12cos 2
k
S
Nz
z
Daraus folgt die DGL 2. Ordnung
yn
[]
ayn
[
1]
a yn
[
2]
b xn
[]
bxn
[
1]
b xn
[
2]
(8.47)
1
2
0
1
2
und durch Koeffizientenvergleich die Spezialisierung mit den reellen Nennerkoeffizienten
a
1
a
2 cos
k
2
S
S
N
a
1
0
1
2
(8.48)
b
1
b
exp
jk
2
N
b
0
0
1
2
Zur effizienten Berechnung des
k
-ten DFT-Koeffizienten ist die Realisierung in der Direktform
II günstig. Für den Signalflussgraphen ergibt sich die Struktur in Bild 8-8.
Da die Ausgangsgröße
y
[
n
] nur zum Zeitpunkt
n
=
N
bestimmt werden muss, ist die komplexe
Multiplikation mit
b
1
nur einmal erforderlich. Der Goertzel-Algorithmus 2. Ordnung benötigt
N
reelle Multiplikation, 2
N
Additionen und zum Abschluss eine komplexe Multiplikation und
eine reelle Addition.
v
[
n
]
b
0
= 1
x
[
n
]
y
[
n
]
D
v
[
n
1]
a
1
b
1
D
v
[
n
2]
b
2
= 0
1
System
Bild 8-8
Blockdiagramm des zeitdiskreten Systems 2. Ordnung in der Direktform II für den Goertzel-
Algorithmus 2. Ordnung
