The Inverse of a Multivariate Homogeneous Polynomial - Map Projections: Cartographic Information Systems - page 687

Example B.4 (Inversion of a bivariate homogeneous polynomial of degeree n =3).

Assume the bivariate homogeneous polynomial y ( x )=A 11 x +A 12 x ⊗ x +A 13 x ⊗ x ⊗ x to be given

and find the inverse bivariate homogeneous polynomial x ( y )=B 11 y +B 12 y ⊗ y +B 13 y ⊗ y ⊗ y

by the GKS algorithm.

Basic equations:
y ( x )= y 1

=

(B.47)

y 2

=A 11 x 1

+A 12 x 1 x 1

x 2

+A 13 x 1 x 1

x 2

x 1
x 2

,

⊗ ⊗ ⊗

x 2 x 2 x 2

⎡ ⎤

x 1
x 1 x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
x 2 x 1
x 2 x 1
x 2 x 1
x 2

⎣ ⎦

x 1
x 2

x 1
x 2

x 1
x 2

= x 1 [3]

8 × 1

⊗ ⊗ = ∈ R (B.48)

x 2

(triple Kronecker-Zehfuss product);
x ( y )= x 1

=

(B.49)

x 2

=B 11 y 1

+B 12 y 1 y 1

y 2

+B 13 y 1 y 1

y 2

y 1
y 2

,

⊗ ⊗ ⊗

y 2 y 2 y 2

⎡ ⎤

y 1
y 1 y 2
y 1 y 2
y 1 y 2
y 2 y 1
y 2 y 1
y 2 y 1
y 2

⎣ ⎦

y 1
y 2

y 1
y 2

y 1
y 2

= y 1 [3]

8 × 1

⊗ ⊗ = ∈ R (B.50)

y 2

(triple Kronecker-Zehfuss product).

1st polynomial:

x 1
x 2

=B 11

A 1 k x 1

[ k ] 3

+

x 2

k =1

+B 12 3

[ k 1 ]

3

[ k 2 ] + x 1

x 2

x 1
x 2

A 1 k 1 ⊗ A 1 k 2

k 1 =1 k 2 =1