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Setzen wir
z
=(
)
(
)
u
,
w
mit einem beliebigen Sattelpunkt
u
,
w
von
L
ein (nach Voraus-
u
n
+1
,
w
u
,
w
n
+1
setzung existiert ein solcher), so folgt
L
0 für alle
n
. Jeder der
drei Terme auf der linken Seite ist nun nicht-negativ und die rechte Seite hängt nicht
von
N
ab, es folgt damit die Konvergenz beziehungsweise die Beschränktheit
(
)
−
L
(
)
≥
n
=
0
z
n
∞
z
n
+1
2
Z
z
0
2
Z
z
N
2
Z
z
0
2
Z
−
−
−
−
z
z
z
−
√
στ
≤
,
≤
(
− στ
2
)
2
2
(
1
A
)
2
2
1
A
z
n
+1
z
n
2
Z
z
n
und weiter lim
n→
∞
ist also beschränkt, wegen der end-
lichen Dimension von
Z
existiert eine konvergente Teilfolge
−
=
0. Die Folge
(
)
z
n
k
z
n
k
z
∗
(
)
=
mit lim
k→
∞
für ein
z
∗
=(
u
∗
,
w
∗
)
∈
Z
. Darüber hinaus haben wir Konvergenz der Nachbarteilfol-
z
n
k
+
1
z
n
k
−
1
z
∗
, andererseits gilt mit der Stetigkeit von
A
,
A
∗
,
gen lim
k→
∞
=
lim
k→
∞
=
)
−
1
und
F
2
)
−
1
(
id
+
σ∂
F
1
(
id
+
τ∂
(siehe Lemma 6.134)
u
∗
=
u
n
k
2
u
n
k
u
n
k
−
1
u
∗
,
=
−
=
lim
k
lim
k
→
∞
→
∞
w
∗
=
F
2
)
−
1
F
2
)
−
1
w
∗
+
τ
Au
∗
)
w
n
k
A u
n
k
lim
k
→
∞
(
id
+
τ∂
(
+
τ
)=(
id
+
τ∂
(
,
u
∗
=
F
1
)
−
1
u
n
k
A
∗
w
n
k
+1
F
1
)
−
1
u
∗
−
σ
A
∗
w
∗
)
lim
k
→
∞
(
id
+
σ∂
(
−
σ
)=(
id
+
σ∂
(
,
u
∗
,
w
∗
)
folglich genügt
den Gleichungen (6.88) und ist damit ein Sattelpunkt von
L
.
Es bleibt noch zu zeigen, dass die gesamte Folge
(
z
n
gegen
z
∗
konvergiert. Dafür sei
(
)
k
∈
N
fest und
N
≥
n
k
+
1. Summiert man (6.94) von
M
=
n
k
bis
N
−
1 und wiederholt
die oben durchgeführten Schritte, ergibt sich
n
=
n
k
z
n
+1
−
z
n
2
Z
z
N
2
Z
−
√
στ
N
2
)
−
z
−
2
(
1
A
)
+(
1
−
στ
A
2
2
N
−
1
u
n
k
u
n
k
−
1
2
X
z
n
k
2
Z
n
=
n
k
L
(
u
n
+
1
,
w
)
− L
(
u
,
w
n
+
1
)
≤ δ
n
k
(
)+
−
+
−
z
+
w
.
2
σ
2
Mit dem Einsetzen von
z
∗
folgt weiter mit
2
στ
<
A
1 und mit der Tatsache, dass
u
∗
,
w
∗
)
(
ein Sattelpunkt ist,
w
∗
)+
u
n
k
u
n
k
−
1
2
X
z
∗
−
z
n
k
2
Z
σδ
n
k
(
−
+
σ
2
z
∗
−
z
N
2
Z
≤
.
σ
(
− στ
2
)
1
A
w
∗
)=(
w
∗
−
w
∗
,
A
u
∗
−
u
∗
))
Y
=
Es gilt offensichtlich lim
k→
∞
δ
n
k
(
(
0, daher konvergiert
die rechte Seite gegen 0 für
k
→
∞
. Insbesondere kann man für
ε
>
0 ein
k
so wählen,
2
wird. Für alle
N
dass sie nicht größer als
ε
≥
n
k
ist dann
z
∗
−
z
N
2
Z
2
,
≤
ε
z
N
z
∗
, was zu zeigen war.
also lim
N
→
∞
=
Unglücklicherweise gibt der Konvergenzbeweis keine Abschätzung an die Ge-
schwindigkeit an, mit der
u
n
,
w
n
(
)
konvergiert, es ist daher schwer zu entscheiden,
