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−δ
N
(
)
Der Wert
wird ebenfalls durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, der Opera-
tornorm und der Youngschen Zahlenungleichung, diesmal jedoch mit
w
λ
=
σ
, abge-
schätzt:
w
N
2
Y
u
N
−
1
)
≤
Y
−
u
N
2
X
w
+
−
w
N
u
N
u
N−
1
2
−
δ
N
(
w
A
−
w
−
X
≤
στ
A
.
2
τ
2
σ
Damit folgt die schließlich die Behauptung.
Zusammen liefern die Ungleichungen (6.91) und (6.93) die essentiellen Zutaten für
den Beweis der Konvergenz in endlichdimensionalen Räumen.
Satz 6.141
(Konvergenz des Arrow-Hurwicz-Verfahrens mit primalen Extragradienten)
Es seien X
,
Y endlichdimensionale, reelle Hilbert-Räume, A
,F
2
∈
∈L
(
X
,
Y
)
,F
1
∈
Γ
0
(
X
)
2
Γ
0
1
genügen. Ferner sei
angenommen, das Lagrange-Funktional L nach
(6.87)
besitze einen Sattelpunkt.
Dann konvergiert die Iteration
⎧
⎨
(
Y
)
und
σ
,
τ
>
0
Schrittweiten, die der der Beschränkung
στ
A
<
w
n
+
1
F
2
)
−
1
w
n
A u
n
=(
id
+
τ∂
(
+
τ
)
,
u
n
+
1
)
−
1
A
∗
w
n
+
1
u
n
=(
+
σ∂
(
− σ
)
id
F
1
,
⎩
u
n
+1
2
u
n
+1
u
n
=
−
u
0
,
w
0
Y, u
0
u
0
gegen einen Sattelpunkt
u
∗
,
w
∗
)
∈
für beliebige Startwerte
(
)
∈
X
×
=
(
X
×
Y
des Lagrange-Funktionals L.
∈
=
×
=(
)
Beweis.
Sei
z
Z
X
Y
mit Komponenten
z
u
,
w
beliebig. Für ein festes
n
setzen
u
n
−
1
(mit
u
−
1
w
n
+
1
2
u
n
u
0
),
wir
u
=
−
=
w
=
und wenden Lemma 6.139 an. Die
Abschätzung (6.91) wird dann zu
z
n
+1
z
n
2
Z
+
w
n
+
1
)
Y
−
u
n
+
1
u
n
−
1
2
u
n
−
(
−
+
w
,
A
2
z
n
2
Z
z
n
+1
2
Z
)
≤
z
−
−
z
−
u
n
+
1
,
w
u
,
w
n
+
1
+
(
)
−
(
L
L
.
(6.94)
2
2
∈
−
Für ein
N
N
summieren wir von 0 bis
N
1 und schätzen mit (6.93) aus Lemma 6.140
u
−
1
u
0
nach unten ab, berücksichtigen dabei
δ
0
(
w
)=
0 und
−
X
=
0, so dass
N
n
=0
z
n
+1
−
1
z
n
2
Z
w
N
2
Y
N
n
=0
z
n
+1
−
2
z
n
2
Z
−
−
−
√
στ
−
w
2
−
στ
A
A
2
2
τ
2
z
N
z
N−
1
Z
N
−
1
z
0
Z
z
N
Z
−
−
n
=
0
L
(
u
n
+1
,
w
)
− L
(
u
,
w
n
+1
)
≤
−
−
−
z
z
+
2
2
2
2
folgt. Umsortieren, die Definition der Norm in
Z
und
−
στ
A
≤
0 geben schließlich
n
=0
z
n
+
1
−
−
√
στ
N
2
z
n
2
Z
z
N
2
Z
−
)
z
−
2
(
1
A
)
+(
1
−
στ
A
2
2
N
−
1
z
0
2
Z
n
=
0
L
(
u
n
+1
,
w
)
− L
(
u
,
w
n
+1
)
≤
−
z
+
.
2
