Image Processing Reference
In-Depth Information
Wir wollen einen weiteren Ansatz für die Kopplung der Farbkomponenten herleiten
und folgen dabei einer Idee in [123]. Dafür betrachten wir in einem festen Punkt
x
∈
Ω
∇
(
)
eine
Singulärwertzerlegung
von
u
x
, also,
⎧
⎨
⎩
R
d
ξ
1
(
)
(
)
∈
x
,...,
ξ
K
x
orthonormal
K
k
=1
σ
k
(
x
)
η
k
(
x
)
⊗
ξ
k
(
x
)
,
R
N
∇
u
(
x
)=
(
)
(
)
∈
η
1
x
,...,
ξ
K
x
orthonormal
(
)
(
)
≥
σ
1
x
,...,
σ
K
x
0
Singulärwerte
mit
K
=
min
(
d
,
N
)
und
(
η
⊗
ξ
)
i
,
j
=
η
i
ξ
j
(siehe zum Beispiel [103]). Die
σ
k
(
x
)
sind da-
bei, bis auf die Reihenfolge, eindeutig bestimmt. Im Fall
N
=
1 gibt
σ
1
(
x
)=
|∇
u
(
x
)
|
,
)=
∇
u
|∇
ξ
1
als
„verallgemeinerte“ Normalenrichtung interpretiert werden, bezüglich dessen sich die
Farbe
u
(
x
|
(
x
)
und
η
1
(
x
)=
1 so eine Zerlegung. Für
N
>
1 kann folglich
ξ
k
(
x
)
u
(
x
)
in Richtung
η
k
(
x
)
um die Intensität
σ
k
(
x
)
ändert. Ist
σ
k
(
x
)
groß beziehungs-
(
)
weise klein, so ändert sich die Farbe in Richtung
ξ
k
x
viel beziehungsweise wenig.
Insbesondere gibt max
k
=
1,...,
K
ein Maß für die Intensität der größten Farbände-
rung. Der Ansatz für eine angepasste Matrixnorm für
σ
k
(
x
)
∇
u
ist nun, diese Intensität als
Norm zu definieren:
|∇
u
(
x
)
|
=
max
1,...,
K
σ
k
(
x
)
,
σ
1
(
x
)
,...,
σ
K
(
x
)
Singulärwerte von
∇
u
(
x
)
.
spec
k
=
Dies gibt eine Matrixnorm auf
R
N×d
, die
Spektralnorm
. Sie stimmt mit der Operatornorm
von
als lineare Abbildung von
R
d
R
N
überein: Für
z
R
d
mit
∇
u
(
x
)
→
∈
|
z
|≤
1 folgt
nämlich wegen der Orthonormalität von
η
k
(
)
(
)
x
und
ξ
k
x
mit dem Satz des Pythagoras
sowie der Parseval-Relation
K
k
=1
σ
k
(
x
)
2
ξ
k
z
k
=1
ξ
k
(
x
)
· z
K
2
2
2
2
spec
2
|∇
(
)
|
=
(
)
·
≤∇
(
)
≤∇
(
)
u
x
z
x
u
x
u
x
spec
.
Das Supremum über alle
|
z
|≤
1 wird bei
z
=
ξ
k
(
x
)
mit
σ
k
(
x
)=
max
l
=1,...,
K
σ
l
(
x
)
angenommen, daher entspricht
)
|
spec
der Operatornorm.
Darauf aufbauend kann man eine äquivalente Sobolew-Halbnorm und Totalvariati-
on definieren: Für 1
|∇
u
(
x
≤
<
∞
p
sei
spec
d
x
1
p
p
∇
p
,spec
=
Ω
|∇
(
)
|
∞,spec
=
|∇
(
)
|
spec
,
u
u
x
,
u
ess sup
x
u
x
∈
Ω
sowie
sup
div
v
d
x
1
.
,
R
N×d
TV
spec
(
u
)=
u
·
v
∈D
(
Ω
)
,
v
∞,spec
≤
(6.77)
Ω
Die Entrausch-Aufgabe wird mit diesem Strafterm zu
⎧
⎨
p
p
spec
d
x
Ω
|∇
u
(
x
)
|
falls
p
>
1
1
q
u
0
q
d
x
Ω
|
−
|
+
min
u
(6.78)
⎩
∈L
q
,
R
N
u
(Ω
)
λ
TV
spec
(
u
)
falls
p
=
1.
