Image Processing Reference
In-Depth Information
HSV, haben wir schon in Kapitel 5 kennengelernt. Ebenso konnten wir feststellen, dass
Methoden, die die Farbkomponenten auf irgendeine Weise koppeln, in der Regel besse-
re Ergebnisse erzielen. Unser Interesse liegt daher darin, geeignete gekoppelte Modelle
zu entwickeln; wir beschränken uns hier auf den RGB-Farbraum.
Diskutieren wir dazu exemplarisch das Entrauschproblem mit Sobolew-Halbnor-
men beziehungsweise Totalvariation aus Anwendungsbeispiel 6.94 beziehungsweise
Beispiel 6.124. Es sei ein verrauschtes Farbbild
u
0
L
q
,
R
N
1 gegeben. Die se-
parierte Lösung der Variationsaufgabe (6.39) für jede Farbkomponente entspricht nun
offensichtlich der Lösung der Aufgabe
∈
(
Ω
)
,
N
≥
⎧
⎨
p
d
x
N
i
=1
|∇
u
i
|
p
falls
p
>
1
q
d
x
N
i
=1
|
u
i
−
u
i
|
1
q
Ω
min
+
(6.74)
N
i
=1
TV(
u
i
)
⎩
L
q
∈
(
Ω
,
R
N
)
Ω
u
=
λ
falls
p
1.
Um nun die Komponenten untereinander zu koppeln, haben wir die Möglichkeit, die
punktweise Vektornorm in
R
N
für den Datenterm und die punktweise Matrixnorm in
R
N×d
für den Strafterm anders zu wählen, und zwar so, dass sie nicht separieren, das
heißt, dass sich nicht beide als Summe über die Komponenten
i
1, . . . ,
N
schreiben
lassen. Weil dort der Einfluss am ehesten spürbar ist, konzentrieren wir uns auf die
punktweise Matrixnorm für
=
∇
u
und wählen im Folgenden die übliche punktweise eu-
klidische Vektornorm auf
L
q
,
R
N
(
Ω
)
:
2
d
x
2
q
2
N
i
=
1
|u
i
(
x
)
|
q
N
i
=
1
|u
i
(
x
)
|
2
≤
<
∞
q
=
∞
=
1
q
:
u
,
u
ess sup
x
.
Ω
∈
Ω
Für die Matrixnorm ist die analoge Wahl mit der Summe der Quadrate der Komponen-
ten naheliegend, sie entspricht der Wahl der
Frobenius-Norm
2
F
2
|∇
u
(
x
)
|
=
|∇
u
(
x
)
|
=
N
i
d
j
2
, also für 1
=1
|
∂
x
j
u
i
(
x
)
|
≤
p
<
∞
∑
=1
∑
∂
d
x
∂
p
2
N
i
=
1
d
j
=
1
p
N
i
=
1
d
j
=
1
2
u
i
2
u
i
2
∇
p
=
x
j
(
)
∇
∞
=
x
j
(
)
u
x
,
u
ess sup
x
x
.
∂
∂
Ω
∈
Ω
Definiert man die Divergenz einer matrixwertigen Funktion komponentenweise, das
heißt, für
v
:
R
N
×
d
ist
d
j
Ω
→
(
div
v
)
i
= ∑
=1
∂
x
j
v
i
,
j
, so verallgemeinert sich die Totalva-
riation analog zur vektoriellen Version
sup
div
v
d
x
1
.
,
R
N×d
TV
(
u
)=
u
·
v
∈D
(
Ω
)
,
v
∞
≤
(6.75)
Ω
Ist
q
=
2 oder
p
=
2 findet in dem Sobolew- bzw. Totalvariations-Entrauschproblem
⎧
⎨
p
p
d
x
Ω
|∇
(
)
|
>
u
x
falls
p
1
1
q
u
0
q
d
x
Ω
|
−
|
+
min
u
(6.76)
⎩
L
q
,
R
N
u
∈
(Ω
)
(
)
=
λ
TV
u
falls
p
1
eine Kopplung im oben genannten Sinne statt.
