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m
lässt sich durch ein Element in
C
∞
(Ω)
∇
·
q
+
Jedes Element in dom
in Sinne von
m
m
)
∗
, und es folgt
∇
·
p
beliebig gut annähern (siehe Satz 6.74), daher ist
w
∈
dom
(
∇
,
R
d
m
)
∗
.
Die obige Variationsformulierung motiviert außerdem die folgende Definition der
schwachen Divergenz
: Ein
v
m
D
(
Ω
)
⊂
dom
(
∇
L
loc
(
Ω
)
∈
wird
m
-te schwache Divergenz eines Vektorfeldes
,
R
d
m
,
R
d
m
L
loc
(
Ω
w
∈
)
genannt, falls für jedes
u
∈D
(
Ω
)
gilt:
m
m
u
d
x
·∇
=(
−
)
w
1
vu
d
x
.
Ω
Ω
div
m
w
. Man kann analog zu Lemma 6.73 be-
weisen, dass auf diese Weise ein abgeschlossener Operator zwischen
L
p
∗
In Falle der Existenz schreiben wir
v
=
,
R
d
m
(Ω
)
und
L
q
∗
)
∗
auch abgeschlossen sein muss, folgt für
m
w
n
(
Ω
)
definiert ist. Da nun
(
∇
(
)
in
,
R
d
m
w
in
L
p
∗
,
R
d
m
w
n
m
div
m
w
n
D
(Ω
)
=
(Ω
)
und lim
n→
∞
(
−
)
=
mit lim
n→
∞
1
v
in
L
q
∗
m
div
m
w
mit der
m
-ten Divergenz im schwachen
Sinn. Diese Argumentation ergibt also: Für
m
)
∗
w
(
Ω
)
auch
(
∇
=
v
=(
−
1
)
w
∃
L
p
∗
,
R
d
m
L
q
∗
,
R
d
m
m
div
div
m
w
w
n
D
=
∈
(
Ω
)
∈
(
Ω
)
und Folge
(
)
in
D
(
Ω
)
0
(6.37)
w
n
div
m
w
n
→
∞
−
p
∗
+
(
−
)
q
∗
=
mit
lim
n
w
w
)
∗
. Es sei bemerkt, dass dieser Raum von
p
und
q
abhängt, wir dies
in der Notation aber nicht angeben. Im Falle
m
m
div
m
gilt
D
⊂
dom
(
∇
=
1 lässt sich nun die Übereinstimmung
∇
∗
mit einfachen Mitteln beweisen.
mit dom
∇
∗
)
Für ein beschränktes Lipschitz-Gebiet
Satz 6.88
(Charakterisierung von
Ω
,
1
<
p
≤
q
<
∞
und dem linearen Operator
∇
zwischen L
q
und L
p
,
R
d
mit Definitionsbereich H
1,
p
(Ω)
(Ω
)
(Ω)
gilt:
∇
∗
=
−
∇
∗
=
D
1
div
div
mit
dom
laut
(6.37).
L
p
∗
∇
∗
⊂
,
R
d
∈
(Ω
)
Beweis.
Es sei
w
dom
gegeben. Wir wenden nun komponenten-
L
p
∗
-Adjungierte der Approximationsoperatoren
weise die
L
p
−
M
n
nach (6.30) aus
M
n
):
Satz 6.74 auf
w
an (und bezeichnen dies ebenfalls mit
K
k
=0
ϕ
k
T
−t
n
η
k
(
w ∗
)
=
M
n
w
w
n
¯
n
=
ψ
wobei
¯
n
n
. Jedes
w
n
ist beliebig oft differenzierbar, untersuchen wir also den
ψ
=
D
−
id
ψ
Träger. Es sei
K
n
Ω
n
=
=0
(
Ω
−
supp
ψ
+
t
n
η
k
)
∩
V
k
,
k
welches nach Konstruktion
Ω
n
⊂⊂
Ω
erfüllt. Angewandt auf
u
∈D
(
Ω
\
Ω
n
)
mit Null-
fortsetzung ergibt sich für jedes
k
T
t
n
η
k
(
ϕ
k
u
)
∗ ψ
n
=
0
