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∈
∈ ∂
(
+
)(
)
∈
∩
für alle
v
X
. Andersherum sei
w
F
G
u
, also notwendigerweise
u
dom
F
dom
G
und daher
(
)
−
(
)
−
−
≥
(
)
−
(
)
∈
∩
F
v
F
u
w
,
v
u
G
u
G
v
für alle
v
dom
F
dom
G
.
(6.11)
Definiere
F
. Unser Ziel ist es, ein geeignetes lineares Funktional
zu finden, welches noch zwischen diese Ungleichung „passt“, also ein
w
2
(
v
)=
F
(
v
)
−
w
,
v
X
∗
, für
∈
welches
F
F
w
2
,
u
(
)
−
(
)
≥
−
∈
v
u
v
für alle
v
dom
F
,
(6.12)
w
2
,
u
−
≥
(
)
−
(
)
∈
v
G
u
G
v
für alle
v
dom
G
.
Dies ist durch eine geeignete Trennung der Mengen
K
1
=
v
,
t
)
t
,
=
v
,
G
t
G
t
F
F
−
(
u
(
v
)
≤
K
2
(
u
)
−
(
v
)
≤
)
nichtleer ist, letzteres aufgrund der Stetigkeit von
F
im Punkt
u
0
. Darüber hinaus ist
int
(
zu erreichen. Wir stellen fest, dass
K
1
,
K
2
nichtleere konvexe Mengen sind sowie int
K
1
F
F
(
)
∩
= ∅
(
)
∈
(
)
>
(
)
−
(
)
(
)
∈
K
1
K
2
, denn
v
,
t
int
K
1
impliziert
t
v
u
während
v
,
t
K
2
t
. Ist beides erfüllt, so ergibt sich der Widerspruch
mit (6.11). Das Lemma 6.45 liefert nun 0
bedeutet, dass
G
(
u
)
−
G
(
v
)
≥
w
0
,
t
0
X
∗
×
=(
)
∈
λ ∈
R
und
R
, so dass
t
0
t
)
≤ λ
F
dom
F
,
F
w
0
,
v
+
−
(
∀
∈
(
)
≤
u
v
v
t
t
0
G
t
w
0
,
v
+
(
)
−
≥ λ
∀
∈
(
)
≤
u
v
dom
G
,
G
v
t
.
F
Wir zeigen nun
t
0
<
0. Der Fall
t
0
>
0 führt mit
v
=
u
,
t
>
(
u
)
und
t
→
∞
sofort zum
w
0
,
v
Widerspruch zu obiger Ungleichung. Angenommen,
t
0
=
0, so würde folgen
≤
w
0
,
u
0
, denn
u
0
∈
< λ
λ
für alle
v
dom
F
und insbesondere
ist ein innerer Punkt von
w
0
,
u
0
wegen
u
0
dom
F
. Andererseits wäre aber auch
≥
λ
∈
dom
G
, ein Widerspruch.
F
=
(
)
=
(
)
Es folgt also mit
t
v
bzw.
t
G
v
F
F
t
−
1
0
w
0
,
v
t
−
1
0
(
)
−
(
)
≥−
+
∀
∈
v
u
λ
v
dom
F
,
t
−
1
0
w
0
,
v
t
−
1
0
G
(
u
)
−
G
(
v
)
≤−
+
λ
∀
v
∈
dom
G
.
t
−
1
0
u
in beiden Ungleichungen sowie
w
2
w
0
, so gilt
w
0
,
u
Setzt man
v
=
=
λ
=
und
folglich (6.12). Dies bedeutet einerseits
w
2
∈ ∂
(
)
G
u
und andererseits, mit der Definition
von
F
,
w
1
w
2
=
w
−
∈
∂
F
(
u
)
. Damit ist
w
∈
∂
F
(
u
)+
∂
G
(
u
)
.
A
∗
w
mit
w
=
∈ ∂
(
)
Zu 4.: Die Inklusion sieht man wieder leicht ein: Ist
w
F
Au
,so
folgt
A
∗
w
,
v
(
)+
−
=
(
)+
−
≤
(
)
F
Au
u
F
Au
w
,
Av
Au
F
Av
für alle
v
∈
Y
. Dies gibt
w
∈
∂
(
F
◦
A
)(
u
)
. Die andere Richtung wird analog zu Punkt 3
∈ ∂
(
◦
)(
)
bewiesen. Sei
w
F
A
u
, also
F
(
Au
)+
w
,
v
−
u
≤
F
(
Av
)
für alle
v
∈
Y
.
(6.13)
In diese Ungleichung soll wieder ein trennendes lineares Funktional eingeschoben wer-
den, was der Trennung der konvexen, nichtleeren Mengen
v
=
Av
,
F
Y
=
(
)+
−
∈
K
1
epi
F
,
K
2
Au
w
,
v
u
