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(
)
entspricht. In Analogie zu Punkt 3 stellen wir fest, dass int
K
1
nichtleer ist und
w
0
,
t
0
)
∈
X
∗
×
int
(
K
1
)
∩
K
2
=
∅
. Es gibt nach Lemma 6.45 also wieder ein 0
=(
R
mit
w
0
,
v
+
t
0
t
≤
λ
∀
v
∈
dom
F
,
t
≥
F
(
v
)
(6.14)
t
0
F
≥
λ
w
0
,
Av
+
(
Au
)+
w
,
v
−
u
∀
v
∈
Y
.
Den Fall
t
0
>
0 können wir ausschließen und
t
0
=
0 ergibt sich aus den Voraussetzun-
gen
u
0
und
F
stetig in
u
0
. Zusätzlich folgt, setzen wir
v
∈
∩
(
)
=
=
(
)
dom
F
rg
A
Au
,
t
F
v
w
0
,
Au
und
v
=
u
, die Identität
λ
=
+
t
0
F
(
Au
)
. Nach der zweiten Ungleichung
in (6.14) ist nun
w
0
,
Av
−
Au
+
t
0
w
,
v
−
u
≥
0
∀
v
∈
Y
t
−
1
0
A
∗
w
0
. Mit der Definition
w
t
−
1
0
w
0
und damit
w
=
−
=
−
impliziert die erste Unglei-
chung in (6.14) schließlich
w
,
v
−
Au
+
F
(
Au
)
≤
F
(
v
)
∀
v
∈
dom
F
A
∗
◦ ∂
∈ ∂
(
)
∂
(
◦
)(
)
⊂
(
◦
)(
)
also
w
F
Au
. Dies zeigt
F
A
u
F
A
u
.
Korollar 6.52
Sei das konvexe Funktional F stetig in u
0
u
0
und
∂
F
(
)=
{
w
}
. Dann ist F Gâteaux-
differenzierbar in u
0
mit
D
F
u
0
(
)=
w.
Beweis.
Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass
u
0
=
0 ist. Definiere für jedes
∈
→
(
)=
(
)
(
)=
{
}
v
X
die konvexe Funktion
t
F
v
t
F
tv
. Nach Satz 6.51 ist
∂
F
v
0
w
,
v
,
somit folgt, für
t
>
0,
F
v
(
t
)
−
F
v
(
0
)
≤
−
0
w
,
v
.
t
ε >
+
ε
∈ ∂
(
)
ε
>
(
ε
)
<
Andererseits gibt es für jedes
0, da
w
,
v
/
F
v
0
, ein
t
0, so dass
F
v
t
F
v
(
0
)+
t
ε
w
,
v
+
t
ε
ε
. Aufgrund der Konvexität ist für
t
∈
[
0,
t
ε
]
die Ungleichung
t
t
t
ε
−
t
F
v
(
t
)
≤
F
v
(
t
ε
)+
F
v
(
0
)
≤
F
(
0
)+
t
w
,
v
+
t
ε
t
ε
ε
erfüllt und damit
(
)
−
(
)
F
v
t
F
v
0
−
w
,
v
≤
ε
t
t
F
v
)
=
1
u
0
ε >
(
)
−
(
(
)=
Da
0 beliebig war, folgt lim
t→
0
+
t
F
v
0
w
,
v
und somit D
F
w
im Sinne der Gâteaux-Differenzierbarkeit.
Bemerkung 6.53
•
Die Aussage im vierten Punkt des Satzes 6.51 gilt auch in anderen Situationen.
Zum einen bleibt die Aussage
A
∗
◦
∂
∂
(
F
◦
A
)=
F
◦
A
gültig, wenn rg
(
A
)=
X
und
F
konvex ist und keine Stetigkeitsannahme erfüllt ist (Aufgabe 6.11).
Zu
m ande
ren können wir dicht definierte lineare Abbildungen
A
: dom
A
⊂
Y
→
=
∂
(
◦
)
X
, dom
A
(siehe Beispiel 6.23) die gleiche
Formel, wobei diesmal die Adjungierte im Sinne von Definition 2.25 gemeint ist
(Aufgabe 6.12).
Y
zulassen und erhalten für
F
A
