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=
bilden, welche in
t
0 immer ein Minimum besitzt. Leiten wir
F
u
nach
t
an der Stelle 0
ab, so ergibt sich
∂
F
u
∂
F
u
(
t
)
−
F
u
(
0
)
(
0
)=
lim
t
t
t
→
0
1
2
t
u
∗
(
2
d
x
u
∗
(
u
∗
)(
=
Ω
|∇
)
|
+
Ω
∇
)
·∇
(
−
)
lim
t
x
x
u
x
d
x
→
0
t
2
1
2
t
u
∗
)(
u
∗
(
2
d
x
2
d
x
+
Ω
|∇
(
u
−
x
)
|
−
Ω
|∇
x
)
|
u
∗
(
u
∗
)(
=
Ω
∇
)
·∇
(
−
)
=
x
u
x
d
x
0.
Die Menge
(
Ω
)
u
(
Ω
)
v
u
∗
∈
H
1
u
0
auf
Ω
\
Ω
}
=
{
H
1
Ω
\
Ω
}
{
u
−
=
v
∈
=
0 auf
bildet einen Untervektorraum von
H
1
(
Ω
)
, von dem man sich überzeugen kann, dass er
mit
H
0
(
Ω
)
zusammenfällt (siehe Aufgabe 6.2). Daher erfüllt
u
∗
notwendigerweise
u
∗
(
H
0
(
Ω
)
Ω
∇
x
)
·∇
v
(
x
)
d
x
=
0 für alle
v
∈
.
(6.6)
Dies ist die schwache Form der zu (6.5) assoziierten sogenannten
Euler-Lagrange-
Gleichung
. Tatsächlich entspricht (6.6) der schwachen Formulierung einer partiellen Dif-
ferentialgleichung. Angenommen,
u
∗
ist zweimal stetig differenzierbar in
Ω
, so folgt
∈D
(
Ω
)
für jedes
v
u
∗
(
u
∗
(
Ω
∇
x
)
·∇
v
(
x
)
d
x
=
−
Ω
Δ
x
)
v
(
x
)
d
x
=
0
u
∗
=
und mit dem Fundamentallemma der Variationsrechnung (Lemma 2.75) sofort
Δ
0
Ω
, die Funktion
u
∗
ist dort also
harmonisch
(siehe [79] für eine Einführung in der
Theorie der harmonischen Funktionen). In der Tat ist die Annahme, dass
u
∗
zweimal
differenzierbar ist immer erfüllt, denn die Funktion
u
∗
ist
schwach harmonisch
, das heißt,
sie genügt
in
u
∗
(
∈D
(
Ω
)
x
)
Δ
v
(
x
)
d
x
=
0 für alle
v
.
Ω
Nach dem Weylschen Lemma [148, Theorem 18.G] sind solche Funktionen schon belie-
big oft differenzierbar in
Ω
.
Nimmt man nun an, dass
u
∗
|
Ω
eine Spur auf
∂
Ω
hat, so entspricht diese der Spur
von
u
0
Ω
\
Ω
gegeben ist). Daraus ergeben sich die Bedingungen
(welches ja nur auf
u
∗
=
Ω
,
u
∗
=
u
0
∂
Ω
,
Δ
0in
auf
die die starke Form der Euler-Lagrange-Gleichung zu (6.5) darstellen. Das Inpainting-
Problem mit
H
1
-Norm führt also auf die Lösung der Laplace-Gleichung mit sogenann-
ten
Dirichlet-Randwerten
, es wird daher auch
harmonisches Inpainting
genannt.
Einige Eigenschaften der Lösung
u
∗
kann man sofort ableiten. Zum einen gilt für
harmonische Funktionen das Maximumprinzip, welches lokale Maxima und Minima
