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Antworten auf die Frage nach einer passenden Wahl der Parameters
λ
. Deswegen soll
es uns reichen, ihn gewissermaßen als „gegeben“ hinzunehmen.
Bemerkung 6.3
Die Annahme, dass der Faltungskern
k
bekannt sei, ist in der Praxis eine recht starke
Voraussetzung: Hat man ein unscharfes Bild
u
0
gegeben, so kann man in der Regel
k
nicht einfach daraus ablesen. Es taucht also das Problem auf, gleichzeitig
u
†
als auch
k
zu rekonstruieren, man spricht hier von
blinder Entfaltung
. Diese Aufgabe ist hochgra-
dig mehrdeutig, denn, wie man anhand des Faltungssatzes wieder sehen kann, gibt es
zu gegebenem
u
0
=
u
0
gilt. Eine Rekonstruktion
gestaltet sich dadurch noch einmal sehr viel schwieriger, wir werden uns daher im Fol-
genden nur mit der hinreichend herausfordernden Aufgabe der „einfachen“ Entfaltung
beschäftigen. Zu blinder Entfaltung verweisen wir auf [14, 26, 80, 41].
k
d
/2
sehr viele
u
und
k
, für die
(
2
π
)
u
Als letztes einleitendes Beispiel betrachten wir eine Problemstellung, die zunächst
anderen Charakters scheint: das Inpainting. Die Modellierung und Formulierung als
Variationsproblem ist hier ein möglicher Lösungszugang.
Beispiel 6.4
(Harmonisches Inpainting)
Die Aufgabe, einen fehlenden Bereich eines Bildes in natürlicher Weise auszufüllen,
In-
painting
genannt, können wir ebenfalls als ein Minimierungsproblem schreiben. Dazu
nehmen wir an, dass das „wahre“, reellwertige Bild
u
†
R
d
Ω
⊂
a
uf e
inem Gebiet
ge-
Ω
⊂
Ω
Ω
⊂⊂
Ω
geben ist, es aber auf einem echten Teilgebiet
mit
unbekannt ist. Die
Ω
sowie
u
0
u
†
gegebenen Daten sind daher
|
Ω
\
Ω
.
Da es hier um das geeignete „Erfinden“ unbekannter Daten geht, spielt das Modell,
welches wir für ein Bild verwenden, eine große Rolle. Dafür stellen erneut fest, dass
Bilder die Eigenschaft besitzen, dass die punktweise Helligkeitswerte weniger relevant
ist als das Verhalten dieser Werte in der Nachbarschaft. Wie schon zuvor nehmen wir
daher den Sobolew-Raum
H
1
=
(Ω)
als Modell, diesmal aber reellwertig, und postulie-
ren
u
†
H
1
. Insbesondere treffen wir die Annahme, dass die zugehörige (Halb-
)Norm misst, wie gut ein Element
u
∈
(
Ω
)
H
1
∈
(Ω)
einem natürlichen Bild entspricht. Die
Inpainting-Aufgabe entspricht daher dem Minimierungsproblem
1
2
2
d
x
.
Ω
|∇
(
)
|
min
u
x
(6.5)
H
1
∈
(
Ω
)
u
=
u
0
Ω
\
Ω
u
auf
Auch hier sind wir an einem konkreten Minimierer interessiert, im Gegensatz zu den
vorigen Beispielen ist die Fouriertransformation leider nicht hilfreich, denn durch die
Gebiete
Ω
hat das Problem eine inhärente Raumabhängigkeit, die in der Fre-
quenzdarstellung nicht mehr erkennbar ist.
Wir bedienen uns hier einer anderen Technik: Angenommen, wir kennen einen Mi-
nimierer
u
∗
∈
Ω
und
Ω
\
Ω
können wir
H
1
H
1
u
0
(
Ω
)
. Für jedes weitere
u
∈
(
Ω
)
mit
u
=
auf
die Funktion
∇
u
∗
+
u
∗
)
(
1
2
2
d
x
(
)=
(
−
)
F
u
t
t
u
x
Ω
