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Wir werden dieses Thema im Laufe des Kapitels ausführlicher behandeln, lösen
die Minimierungsaufgabe jedoch zunächst rein rechnerisch: Auf Grund der Plancherel-
Formel (4.2) sowie der Ableitungsregeln aus Lemma 4.28 ist das obige Problem (6.1)
äquivalent mit
1
2
ξ
+
2
R
d
|u
0
2
d
2
2
d
(
ξ
)
−
(
ξ
)
|
R
d
|ξ|
|
(
ξ
)
|
min
u
u
ξ
.
H
1
(
R
d
u
∈
)
Man sieht leicht, dass es sich um eine Minimierungsaufgabe für
u
handelt, in der ein
Integral minimiert werden soll, welches nur von
abhängt. Für dieses punktweise
gestellte Problem, und darauf wird später ausführlicher eingegangen, führt die punkt-
weise fast-überall Minimierung zu einer Lösungsfunktion
u
∗
. Diese erfüllt für fast alle
ξ
∈
u
(
ξ
)
R
d
die Eigenschaft
1
+
2
|
ξ
|
2
|
u
0
2
2
2
.
u
(
ξ
)=
arg min
z
(
ξ
)
−
z
|
|
z
|
∈
C
=
|
|
(
)
Umgeschrieben und mit
z
z
sgn
z
ist
2
1
2
Re
sgn
(
ξ
)
,
1
+
2
|
ξ
|
1
1
2
|
u
0
2
|
u
0
)
u
0
2
2
2
2
2
(
ξ
)
−
z
|
|
z
|
=
+
λ
|
ξ
|
|
z
|
+
(
ξ
)
|
−|
z
|
(
z
sgn
u
0
(
ξ
)
angenom-
so dass, minimiert man nach sgn
(
z
)
, das Minimum bei sgn
(
z
)=
men wird. Unter dieser Bedingung ist
2
1
2
1
+
2
|ξ|
1
1
2
|u
0
||u
0
2
|u
0
2
2
2
2
2
,
(
ξ
)
−
|
|
|
=
+
λ|ξ|
|
|
−|
(
ξ
)
|
+
(
ξ
)
|
z
z
z
z
|
=
|u
0
2
|
|
|
(
ξ
)
|
(
+
λ|ξ|
)
welches, minimiert bezüglich
z
, die Bedingung
z
/
1
liefert. Zu-
=
u
0
u
∗
eindeutig und erfüllt
2
sammen ergibt sich
z
(
ξ
)
/
(
1
+
λ
|
ξ
|
)
, daher ist
u
0
(
ξ
)
u
∗
(
ξ
)=
R
d
.
für fast alle
ξ
∈
+
λ|ξ|
2
1
Mit
P
π
)
−d
/2
/
2
λ
(
ξ
)=(
(
+
λ|ξ|
)
2
1
folgt nach dem Faltungssatz der Fouriertransforma-
tion 4.27
u
∗
=
u
0
∗
P
.
λ
(
−
)
Mit Hilfe der
d
/2
1
-ten
modifizierten Besselfunktion der zweiten Art
K
d
/2
−
1
, lässt sich
P
schreiben als
λ
K
d
/2
−
1
2
1
−
d
/2
|
x
|
π
|
x
|
√
λ
P
λ
(
x
)=
(6.2)
(
π
)
d
−
1
λ
(
d
+2)/4
2
(siehe auch Aufgabe 6.1).
Das variationelle Entrauschen mit der quadrierten
L
2
-Norm und der quadrierten
H
1
-Halbnorm auf dem Ganzraum führt also zu einer gewissen Klasse von linearen Fal-
tungsfiltern. Sie motiviert insbesondere die Verwendung der Faltungskerne
P
λ
.
Die Methode ist auch leicht numerisch umzusetzen: Statt der kontinuierlichen Fal-
tung verwendet man ihre diskrete Entsprechung oder realisiert die Multiplikation im
