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Beispiel 5.46
(Kantenverstärkende Diffusion)
Hier soll die Diffusion entlang der Kanten gleichmäßig stattfinden, während die Diffu-
sion senkrecht zu Kanten in einer Art wie bei der Perona-Malik-Gleichung verlangsamt
wird. Mit dem größeren Eigenwert
μ
1
des Strukturtensors
J
ρ
(
∇
u
σ
)
definieren wir mit
einer Funktion
g
wie in (5.14):
=
(
μ
1
)
=
λ
1
g
,
λ
2
1.
Damit definieren wir einen Diffusionstensor
D
mit Hilfe der orthonormalen Eigenvek-
toren
v
1
und
v
2
von
J
ρ
(
∇
σ
)
u
durch
v
1
v
2
v
1
v
2
.
v
2
λ
1
v
2
g
=
v
1
=
v
1
(
μ
1
)
0
0
01
D
0
λ
2
Damit hat
D
offensichtlich die Eigenvektoren
v
1
und
v
2
und die zugehörigen Eigenwer-
te
λ
1
und
λ
2
. Man kann also sagen, dass sich die Diffusion nach der Gleichung
div
D
u
∂
t
u
=
(
J
ρ
(
∇
u
σ
))
∇
entlang von Kanten wie die Wärmeleitungsgleichung und senkrecht zu Kanten wie die
Perona-Malik-Gleichung verhält, siehe dazu Abbildung 5.19. Zur Lösungstheorie dieses
Modells verweisen wir auf [141].
Beispiel 5.47
(Kohärenzverstärkende Diffusion)
Hier ist es das Ziel, „kohärente Regionen“, also Regionen mit „gleichgerichteter Struk-
tur“ zu verstärken. Dazu erinnern wir uns an die Rolle der Eigenwerte
μ
1
und
μ
2
des
Strukturtensors
J
: Sie gaben den Kontrast in den orthogonalen Eigenrichtungen
an. Es liegt eine inkohärente Struktur vor, falls beide Eigenwerte einen ähnlich großen
Wert haben. In diesem Fall liegt entweder eine flache Region vor (beide Eigenwerte
klein) oder aber eine Art Ecke (beide Eigenwerte groß). Ist
ρ
(
∇
u
σ
)
μ
2
,
so gibt es eine dominante Richtung (diese ist
v
2
,da
v
1
senkrecht auf den Kanten steht).
Die Idee der kohärenzverstärkenden Diffusion ist es, die Größe
μ
1
wesentlich größer als
als Maß für
die lokale Kohärenz zu nehmen. Der Diffusionstensor wird wie im vorigen Beispiel so
gestaltet, dass er die gleichen Eigenvektoren
v
1
und
v
2
wie der Strukturtensor hat, der
Eigenwert zu
v
2
jedoch mit zunehmender lokaler Kohärenz
|
μ
1
−
μ
2
|
|μ
1
− μ
2
|
größer wird. Mit
einem kleinen Parameter
α
>
0 und einer Funktion
g
wie in (5.14) nehmen wir folgende
Eigenwerte
λ
1
=
α
,
λ
2
=
α
+(
1
−
α
)(
1
−
g
(
|
μ
1
−
μ
2
|
))
.
Analog zu Beispiel 5.46 Definieren wir den Diffusionstensor durch
v
1
v
2
.
v
2
λ
1
=
v
1
0
D
0
λ
2
Der Parameter
0 wird benötigt, um die positive Definitheit des Diffusionstensors
zu garantieren. Wie im vorigen Beispiel in das Modell
α
>
div
D
u
=
(
ρ
(
∇
σ
))
∇
∂
t
u
J
u
