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In-Depth Information
μ
1
μ
2
μ
1
,
μ
2
klein: flache Region
μ
1
groß,
μ
2
klein: Kante
μ
1
,
μ
2
groß: Ecke
Abbildung 5.18.
Der Strukturtensor
J
ρ
(
∇
u
σ
)
kodiert Informationen über flache Regionen, Kanten und Ecken.
In der unteren Zeile sind die jeweiligen Regionen weiß gefärbt. In diesem Beispiel ist die Rausch-Skala
σ
=
4
ρ
=
und die Mittelungsskala
2.
Satz 5.45
Es sei u
0
L
∞
(
Ω
)
0
und D
:
R
2
×
2
R
2
×
2
habe folgende Eigenschaften:
∈
,
ρ
≥
0
,
σ
>
0
,T
>
→
∈C
∞
(
Ω
,
R
2
×
2
• D
)
.
•
Für jede symmetrische Matrix J ist auch D
(
J
)
symmetrisch.
L
∞
(Ω
,
R
2
∈
)
∞
≤
•
Für jede beschränkte Funktion w
mit
w
K existiert eine Konstante
ν
(
K
)
>
0
, so dass die Eigenwerte von D
(
J
ρ
(
w
))
größer als
ν
(
K
)
sind.
Dann hat die Gleichung
div
D
u
in
∂
t
u
=
(
J
ρ
(
∇
u
σ
))
∇
[
0,
∞
[
×
Ω
∂
D
(
J
ρ
(
∇
u
σ
))
ν
u
=
0
auf
[
0,
∞
[
×
∂
Ω
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
für x
∈
Ω
L
2
[
]
→
(Ω)
[
]
eine eindeutige Lösung u
:
0,
T
. Weiterhin ist u als Abbildung von
0,
T
nach
L
2
H
1
(
Ω
)
stetig und für fast alle t
∈
[
0,
T
]
ist u
(
t
)
∈
(
Ω
)
.
Mit Hilfe des Strukturtensors lassen sich folgende Gleichungen für anisotrope Dif-
fusion motivieren, die ebenfalls auf Weickert [141] zurückgehen.
