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=
⇒
∗
→
Beweis.
([GSI]
R
eine zweimal stetig differenzierbare und
nicht-fallende Grauwerttransformation. Weiterhin gelte
(
)): Es sei
h
:
R
T
t
(
h
(
u
0
)) =
h
(
T
t
(
u
0
))
. Dann
=
T
t
(
)
ist
u
u
0
eine Lösung von
2
u
∂
t
u
=
F
(
∇
u
,
∇
)
(I)
(
)=
u
0
u
0
und
h
(
u
)
eine Lösung von
2
(
◦
)=
(
∇
(
◦
)
∇
(
◦
))
∂
t
h
u
F
h
u
,
h
u
(II)
(
h
◦
u
)(
0
)=
h
(
u
0
)
.
Durch Anwenden der Kettenregel erhalten wir
h
∇
∇
(
h
◦
u
)=
u
2
h
∇
2
u
h
∇
∇
(
h
◦
u
)=
+
u
⊗∇
u
(was Sie in Aufgabe 5.7 nachrechnen sollten). Aus (II) wird also
h
∂
t
u
h
∇
u
,
h
∇
h
∇
2
u
=
(
+
⊗∇
)
F
u
u
.
Mit (I) ergibt sich
h
F
2
u
h
∇
u
,
h
∇
2
u
h
∇
(
∇
u
,
∇
)=
F
(
+
u
⊗∇
u
)
.
Da
u
eine beliebige Lösung und
h
beliebig aber nicht-fallend ist, können wir
∇
u
=
p
,
2
u
X
,
h
=
μ
≥
0 und
h
=
λ
∇
=
annehmen (siehe auch die Techniken im Beweis von
Satz 5.11).
((
∗
=
⇒
∗
) erfüllt ist. Weiterhin sei
u
eine
Lösung von (I) und
h
eine nicht-fallende Grauwerttransformation. Es ist zu zeigen, dass
v
)
[GSI]): Umgekehrt nehmen wir an, dass (
=
◦
◦
h
u
ebenfalls eine Lösung von (I) mit Anfangswert
h
u
0
ist. Nach der Kettenregel
gilt
h
∂
t
u
h
F
2
u
=
=
(
∇
∇
)
∂
t
v
u
,
.
∗
Nach (
) folgt zusammen mit der Kettenregel (analog zum vorherigen Teil)
h
F
2
u
2
(
∇
∇
)=
(
∇
(
◦
)
∇
(
◦
))
u
,
F
h
u
,
h
u
,
was die Behauptung zeigt.
Satz 5.23
Es sei
T
t
eine Skalenraumanalyse, die [GSI] und [COMP] erfüllt und die einen infinitesimalen
Generator habe. Zu p
⊗
p
p
R
d
∈
\{
}
=(
−
)
0
sei Q
p
id
die Projektion auf den Unterraum
2
|
p
|
S
d
×
d
und p
R
d
senkrecht zu p. Dann gilt für X
∈
∈
\{
0
}
(
)=
(
)
F
p
,
X
F
p
,
Q
p
XQ
p
.
