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In-Depth Information
Um die Zerlegung und die Rekonstruktion kompakt aufzuschreiben, führen wir fol-
gende Operatoren ein:
2
2
)
k
=
l
∈
Z
h
l
c
2
k
+
l
(
)
→
(
)
(
H
:
Z
Z
,
Hc
2
2
)
k
=
l
∈
Z
(
−
1
)
l
h
1
−
l
c
2
k
+
l
G
:
(
)
→
(
)
,
(
Gc
Z
Z
Damit ist die schnelle Wavelettransformation:
Eingabe:
c
0
2
∈
(
Z
)
, Zerlegungstiefe
M
.
=
for
m
1 bis
M
do
Berechne
d
m
Gc
m−
1
,
c
m
Hc
m−
1
.
=
=
end for
Ausgabe:
d
1
,...,
d
M
,
c
M
.
Bemerkung 4.71
(Zerlegung als Faltung plus Downsampling)
Ein Zerlegungsschritt der Wavelettransformation hat eine Struktur ähnlich einer Fal-
tung. Durch Indexsubstitution ergibt sich
)
k
=
n∈
Z
h
n−
2
k
c
n
=(
c
∗
D
−
1
h
)
2
k
.
(
Hc
l
h
1
−l
Mit der Abkürzung
g
l
=(
−
1
)
erhält man analog
)
k
=
n∈
Z
g
n
−
2
k
c
n
=(
c
∗
D
−
1
g
)
2
k
.
Ein Zerlegungsschritt besteht also aus Faltung mit den gespiegelten Filtern und Down-
sampling.
(
Gc
Die schnelle Wavelet-Rekonstruktion lässt sich mit Hilfe der adjungierten Operato-
ren von
H
und
G
schreiben. Es gilt
H
∗
:
2
2
H
∗
c
)
k
=
l∈
Z
h
k−
2
l
c
l
(
)
→
(
)
(
Z
Z
,
G
∗
:
G
∗
c
−
2
2
)
k
=
l∈
Z
(
−
1)
k
2
l
h
1
−
(
k−
2
l
)
(
)
→
(
)
(
Z
Z
,
c
l
und damit:
Eingabe:
Zerlegungstiefe
M
,
d
1
,...,
d
M
,
c
M
.
for
m
M
bis 1
do
Berechne
c
m−
1
=
H
∗
c
m
G
∗
d
m
.
=
+
end for
Ausgabe:
c
0
2
∈
(
)
Z
.
Bemerkung 4.72
(Rekonstruktion als Upsampling plus Faltung)
Auch die Wavelet-Rekonstruktion hat die Struktur einer Faltung. Allerdings benötigen
wir hier ein Upsampling: Zu einer Folge
c
definieren wir
c
l
falls
n
=
2
l
(
c
)
n
=
0
falls
n
=
2
l
+
1.
