Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 27

Man kann jetzt auch die Anzahl der möglichen Regeln für den Fall angeben, dass die Anzahl
der möglichen Zellenzustände n > 2 ist bei k Umgebungszellen. Bei binären ZA mit Moore-
Umgebungen hatten wir 2 2 8 Regeln bei 2 8 = 2 2 3 Umgebungskonfigurationen. Entsprechend
erhalten wir allgemein n k mögliche Regeln und n n k verschiedene Möglichkeiten, Regelsets für
verschiedene ZA zu konstruieren. Bei mehr als zwei Zellenzuständen also wächst die Anzahl
der Möglichkeiten, unterschiedliche ZA zu konstruieren, rasch ins Astronomische; alleine aus
diesem Grund bereits werden ZA, die reale Systeme modellieren sollen, praktisch immer mit
totalistischen Regeln konstruiert. Formal kann man ZA-Regeln einerseits, wie in vielen Pro-
grammiersprachen üblich, als IF-THEN-Regeln darstellen; mengentheoretisch ist es anderer-
seits auch möglich, Regeln als geordnete Mengen - n-Tupel - darzustellen, wie dies bereits an-
satzweise geschehen ist. Dies soll jetzt etwas genauer erfolgen.
Sei wieder n die Anzahl der möglichen Zellenzustände und k die Größe der Umgebung. Eine
Regel lässt sich dann darstellen als ein k+2-Tupel der Form
(i 1 , i 2 , ... i k , j t , j t+1 ), (2.3)

wenn i 1 , i 2 , ... i k die Zustände der Umgebungszellen, j t der Zustand der Zentralzelle zum Zeit-
punkt t und j t+1 der Zustand der Zentralzelle zum Zeitpunkt t +1 sind. Kommt es auf den Zu-
stand der Zentralzelle bei der Regel nicht an, lässt man j t weg.
Totalistische Regeln lassen sich z. B. schreiben als

(¦i = k, j t , j t+1 ), (2.4)

wenn es wie beim Game of Life um einfache Aufsummierung der Umgebungszellen geht;
wenn die totalistischen Regeln anders definiert werden sollen, z. B. mit Durchschnittsbildung
der Zustandswerte der Umgebungszellen, wird dies entsprechend dargestellt. Die Regeln des
Game of Life z. B. lauten dann:
(1) (¦i < 3, 0), (¦i > 4, 0),
(2) (¦i = 3, 1),
(3) (¦i = 4, j t , j t ). (2.5)

http://www.rebask.de/qr/sc1_2/2-3.html

In 2.4.2 wird ein stochastischer ZA (siehe unten) gezeigt, dessen totalistische Regeln mit der
Bildung von Durchschnittswerten arbeiten. Dessen Regeln lassen sich unter anderem in dieser
Schreibweise wie folgt darstellen; k ist die Anzahl der Umgebungszellen:
(¦i/k = n, j t , j t+1 = n - j t + 0.1) für n > j t und
(¦i/k = n, j t , j t+1 = j t - n - 0.1) für j t > n. (2.6)

Anders ausgedrückt: Der Zustand der Zentralzelle nähert sich sukzessive dem Durchschnitts-
zustand der Umgebungszellen an.
Aus derartigen Darstellungen lässt sich eine Charakterisierung der Regeln eines spezifischen
ZA ableiten, nämlich die sog. Häufigkeitsmatrix. Diese gibt an, wie häufig die verschiedenen
Zellenzustände durch die gesamten Regeln prinzipiell realisiert werden können (welche bei
einem speziellen Durchlauf tatsächlich erreicht werden, hängt dann vom Anfangszustand ab).
Das kann man sich an einem einfachen Beispiel rasch klar machen, nämlich einem binären ZA
mit einer von Neumann-Umgebung. Die Regeln seien