Zellularautomaten und Boolesche Netze - Modellierung komplexer Prozesse durch naturanaloge Verfahren - page 28

(1) (¦i = 4, 1) und

(2) (¦i 4, 0). (2.7)
M.a.W.: Die Zentralzelle geht genau dann in den Zustand 1 über, gleichgültig in welchem
Zustand sie vorher war, wenn alle Umgebungszellen im Zustand 1 sind; sonst geht die Zentral-
zelle in den Zustand 0 über (oder bleibt in ihm).
Da es insgesamt 16 verschiedene Umgebungskonfigurationen gibt, von denen jedoch nur eine
den Zustand 1 der Zentralzelle generiert, haben wir eine Häufigkeitsverteilung von 1 und 15
bezüglich der Zustände 1 und 0, d. h. eine extreme Ungleichverteilung der möglichen Häufig-
keiten. Dies wird für die sog. Ordnungsparameter (siehe 2.3) noch eine wichtige Rolle spielen.
In diesem einfachen Fall braucht man keine spezielle Häufigkeitsmatrix, da die Verteilung der
Häufigkeiten unmittelbar aus den Regeln ersichtlich ist. Bei mehr Zellenzuständen und vor
allem bei komplexeren Regeln ist es jedoch häufig sinnvoll, sich eine Matrix berechnen zu
lassen, da man damit recht gut die möglichen Entwicklungen des jeweiligen ZA abschätzen
kann. An einem weiteren einfachen Beispiel sei dies erläutert:
Gegeben sei ein binärer ZA mit einer von Neumann-Umgebung. Seine Regeln seien folgen-
dermaßen:
R1: (i = 4,1),
R2: (i = 3,0),
R3: (i = 2,0),
R4: (i = 1,0),
R5: (i = 0,1),

(2.8)

wobei i die 4 Umgebungszellen repräsentieren.
Offenbar spielt bei diesen Regeln, die totalistisch sind, der Zustand der Zentrumszelle keine
Rolle. Die entsprechende Häufigkeitsmatrix sieht folgendermaßen aus:

10
1214
0214

(2.9)

Diese Matrix ist folgendermaßen zu verstehen: Es gibt 2 Übergänge (der Zentrumszelle) von
1 zu 1 und 14 Übergänge von 1 zu 0; entsprechend gibt es 2 Übergänge von 0 zu 1 und
14 Übergänge von 0 zu 0. Diese Zahlen ergeben sich aus den verschiedenen Kombinationen
der Zustände der 4 Umgebungszellen; z. B. ergibt sich die Anzahl 2 des Übergangs 1 o 1 da-
raus, dass nur gemäß den Regeln R1 und R5 die Zentrumszelle vom Zustand 1 in den gleichen
Zustand übergeht.
Häufigkeitsmatrizen sind allerdings keine eindeutige Darstellung eines Regelsystems, da ver-
schiedene Regelsysteme auf die gleiche Häufigkeitsmatrix führen können - die Abbildung
Regelsystem und Häufigkeitsmatrix ist nicht eineindeutig bzw. bijektiv, wie man in der Ma-
thematik sagt.
Zusammengefasst lässt sich sagen, dass die Vorzüge von ZA-Modellierungen vor allem darin
bestehen, dass man die empirisch bekannten Wechselwirkungen und Interaktionen zwischen
den zu modellierenden Elementen eines Systems unmittelbar darstellen kann. Dies ist vor al-
lem dann wesentlich, wenn sowohl die Elemente als auch deren Wechselwirkungen selbst erst