Digital Signal Processing Reference
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Man beachte auch den Unterschied zwischen den normalisierten und denormalisierten Zahlen.
Die kleinste von 0 verschiedene positive Zahl in normalisierter Form ist 2
E
min
. Durch Denor-
malisieren kann diese Zahl auf 2
23
2
E
min
bzw. 2
52
2
E
min
verkleinert werden. So wird das
Problem des Zahlenunterlaufs wirksam reduziert.
Anmerkungen:
(i) MATLAB benutzt auch Softwaremodule, die von IEEE 754 abweichen können. (ii) Für
eine überarbeitete Version des Standards siehe IEEE 754-2008.
Festkommaformat
Für die Darstellung von Festkommazahlen gibt es verschiedene Möglichkeiten: Nach Betrag
und Vorzeichen, im Einerkomplement- oder Zweierkomplementformat. Wir beschränken uns
auf das in der digitalen Signalverarbeitung häufig verwendete
Zweierkomplement
(Two's
Complement) mit der
Wortlänge
w
in Bits.
Im Zweierkomplementformat gibt es genau 2
w
/bit
verschiedene Maschinenzahlen, wobei 0
explizit ausgedrückt wird.
w
/bit 1
0
i
01
w
/bit 1
für
xa
2
a
2
mit
a
0,1
+ +
1
x
1
2
(16.11)
0
i
i
i
1
Die Negation geschieht vorteilhaft durch Komplementbildung und Addition des Bits mit
geringster Wertigkeit, dem LSB (
Least Significant Bit
).
w
/bit 1
0
i
w
bit 1
w
/bit 1
01
xa
2
a
2
2
mit
a
0,1
für
+ +
1
x
1
2
(16.12)
0
i
i
i
1
Anmerkungen:
(i) Das Zweierkomplementformat ermöglicht prinzipiell die Darstellung der Zahl
1. Bei
manchen Anwendungen, speziell mit digitalen Signalprozessoren, wird aus Gründen der Kompatibilität
auf die Verwendung von
1 verzichtet. (ii) Das Festkommaformat mit Zweierkomplement ermöglicht
eine effiziente Addition von positiven und negativen Zahlen durch elektronische Schaltungen.
Beispiel 16-2
Festkommaformat einer negativen Dezimalzahl
Im Beispiel der Zahl -0.328125 ergibt sich aus (16.11) zunächst die Darstellung des Betrages.
2
4
6
0.328125
2
2
2
(16.13)
Bei einer Wortlänge von 16 Bits ist dann das zugehörige Bitmuster mit dem LSB rechts
0.328125
0010 '1010 ' 0000 ' 0000
(16.14)
2c
d
Durch Bildung des Zweierkomplements ergibt sich daraus
0.328125
1101' 0110 ' 0000 ' 0000
(16.15)
d
2c
Einen pauschalen Vergleich für die praktische Anwendung der beiden prinzipiellen Formate
zeigt Tabelle 16-2. Was die numerischen Eigenschaften betrifft, werden in den Anwendungen
meist zwei Kriterien herangezogen:
die
Dynamik
, das Verhältnis aus größter zu kleinster positiv darstellbaren Zahl
