Stochastische Signale und LTI-Systeme - Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB - page 181

Anmerkungen: Es ist nützlich zu wissen, dass jede Linearkombination gemeinsam normalverteilter sto-
chastischer Variablen wieder auf eine Normalverteilung führt. Diese Eigenschaft kann man auch der
Definition der Normalverteilung zugrunde legen, was die große Bedeutung der Normalverteilung unter-
streicht. Für die digitale Signalverarbeitung ist weiter interessant: Wendet man die DFT auf einen Block
normalverteilter stochastischer Variablen an, so sind die DFT-Koeffizienten ebenfalls normalverteilt und
umgekehrt.
Zentraler Grenzwertsatz

Auf der Addition unabhängiger stochastischer Variablen beruht auch der zentrale Grenzwert-
satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Unter relativ allgemeinen Bedingungen kann gezeigt
werden, dass die Überlagerung einer Vielzahl unabhängiger, in ihrer Wirkung jeweils ver-
schwindend kleiner, zufälliger Beiträge auf eine normalverteilte Gesamtwirkung führt. Ein
physikalisches Beispiel ist das thermische Rauschen in einem Widerstand, bei dem sich die
irregulären Wärmebewegungen der Elektronen zu einer am Widerstand messbaren, normal-
verteilten Spannung überlagern.
Wir betrachten den Sonderfall unabhängiger, identisch verteilter stochastischer Variablen X i
mit gleichem linearen Mittelwert 2 . Nach dem Grenzwertsatz von

A und gleicher Varianzen B

Lindeberg-Levy [BSMM99] erhalten wir durch die Abbildung

N

1 X A

i

Y

(15.8)

B

N

i 1

N

für eine normierte, normalverteilte stochastische Variable Y .

15.1.2 Vorbereitende Aufgaben

A15.1 Der MATLAB-Befehl randn erzeugt eine Musterfolge eines normierten Gauß-

prozesses. Geben Sie die nötigen MATLAB-Befehle an, um eine Musterfolge mit
Varianz 0.5 und linearem Mittelwert 0.3 zu erzeugen.

X =

A15.2 Betrachten Sie die Addition zweier unabhängiger, in [0,1] gleichverteilter stochasti-

scher Variablen. Zeichnen Sie in Bild 15-2 die resultierende WDF der Summe ein.
Hinweis: Keine lange Rechnung.

f ( x )

1

x

1 0 1 2

Bild 15-2 WDF der Summe zweier unabhängiger, in [0, 1] gleichverteilter stochastischer Variablen