Information Technology Reference
In-Depth Information
λ(γ
−
)
λ
−
1
(
)
λ
)
λ
−
1
)
λ
−
(γ
−
1
)(
1
+
(γ
−
1
)
x
+
λ(
1
−
x
1
+
(γ
−
1
)
x
1
)(
1
−
x
)
=
h
(
x
(
)
λ
2
1
+
(γ
−
1
)
x
)
λ
+
(γ
−
1
)(
1
−
x
(
)
λ
λ(γ
−
)
λ
−
1
)
λ
−
(
)
λ
−
1
+
(γ
−
)
−
)(
+
(γ
−
)
−
λ(γ
−
)(
−
1
1
x
1
x
1
1
1
x
1
1
x
−
(
)
λ
2
)
λ
+
(γ
−
1
+
(γ
−
1
)
x
1
)(
1
−
x
)
λ
−
1
)
λ
+
λ(γ
−
2
)
λ
(
)
λ
−
1
=
λ(
1
−
x
(
1
+
(γ
−
1
)
x
1
)
(
1
−
x
1
+
(γ
−
1
)
x
(
)
λ
2
+
(γ
−
)
)
λ
+
(γ
−
)(
−
1
1
x
1
1
x
)
λ
(
)
λ
−
1
)
λ
−
1
)
λ
+
λ(γ
−
1
)(
1
−
x
1
+
(γ
−
1
)
x
+
λ(γ
−
1
)(
1
−
x
(
1
+
(γ
−
1
)
x
(
)
λ
2
1
+
(γ
−
1
)
x
)
λ
+
(γ
−
1
)(
1
−
x
2
)
λ
−
1
)
λ
−
1
λγ
(
1
−
x
(
1
+
(γ
−
1
)
x
=
>
0
(1.273)
(
)
λ
2
)
λ
−
(γ
−
1
+
(γ
−
1
)
x
1
)(
1
−
x
and
r
(
x
)
λγ
x
λ
−
1
)
x
λ
−
γ
x
λ
)
x
λ
−
1
)
x
)
λ
+
(γ
−
)
x
)
λ
−
1
(
+
(γ
−
λ(γ
−
)(
+
(γ
−
−
λ(γ
−
1
1
1
1
1
1
1
=
(
1
+
(γ
−
1
)
x
)
λ
+
(γ
−
1
)
x
λ
2
2
x
λ
−
1
)
λ
−
1
λγ
(
1
+
(γ
−
1
)
x
(1.274)
=
>
0
(
)
x
λ
2
)
x
)
λ
+
(γ
−
+
(γ
−
1
1
1
(
)
(
)
Therefore, both
h
are the increasing functions of
x
.
Based on the above analysis, for two collections of IFVs
x
and
r
x
α
i
=
(μ
α
i
,
v
α
i
)(
=
i
1
,
2
,...,
n
)
and
β
i
=
(μ
β
i
,
v
β
i
)(
i
=
1
,
2
,...,
n
)
,if
μ
α
i
≤
μ
β
i
and
v
α
i
≥
v
β
i
,for
all
i
,wehave
S
(
GHIFWA
(α
1
,α
2
,...,α
n
))
≤
S
(
GHIFWA
(β
1
,β
2
,...,β
n
))
(1.275)
which completes the proof.
Based on the monotonicity, the following property can be obtained:
α
−
α
+
Theorem 1.41
(Xia and Xu 2011) Let
and
be given by Eqs. (
1.35
)
and (
1.36
), then
α
−
≤
(α
1
,α
2
,...,α
n
)
≤
α
+
GHIFWA
(1.276)
which is called of boundedness.
As the values of the parameters change, some special cases can be obtained (Xia
and Xu 2011):
Case 1
If
λ
=
1, then Eq. (
1.243
) is transformed as:
Search WWH ::
Custom Search