Intuitionistic Fuzzy Aggregation Techniques - Intuitionistic Fuzzy Aggregation and Clustering - page 106

n
⊕ w i α λ

1
λ

GHIFWA (α 1 ,α 2 ,...,α n ) = GHIFWA (α,α,...,α) = = α

i = 1

(1.269)

which is called of idempotency.

Theorem 1.40 Let β i = (μ β i , v β i )( i = 1 , 2 ,..., n ) be a collection of IFVs, if

μ α i ≤ μ β i and v α i ≥ v β i , for all i , then

GHIFWA (α 1 ,α 2 ,...,α n ) ≤ GHIFWA (β 1 ,β 2 ,...,β n ) (1.270)

which is called of monotonicity.

x + y − xy − ( 1 − γ) xy

( , ) =

Proof Let f x y , then

1 − ( 1 − γ) xy

( 1 − ( 2 − γ) y )( 1 − ( 1 − γ) xy ) + ( x + y − ( 2 − γ) xy )( 1 − γ) y
( 1 − ( 1 − γ) xy )

f ( x , y ) x =

2

xy 2 + ( 1 − γ) xy + ( 1 − γ) y 2 − ( 2 − γ)( 1 − γ) xy 2 1 − ( 2 − γ) y − ( 1 − γ) xy + ( 2 − γ)( 1 − γ)

=

2

( 1 − ( 1 − γ) xy )

y 2 1 − ( 2 − γ) y + ( 1 − γ) (( 1 − γ) y − 1 )( y − 1 )

(1.271)

= =

2 2

( 1 − ( 1 − γ) xy ) ( 1 − ( 1 − γ) xy )

(( 1 − γ) y − 1 )( y − 1 )

) x

Since 0 < x , y < 1 and γ> 0, then f ( x , y = > 0, which

( 1 − ( 1 − γ) xy )

2

indicates that f ( x , y ) is an increasing function of x . Similarly, we can prove that

f ( x is also an increasing function of y .

Let g(

, y )

xy

x , y ) = , then

γ + ( 1 − γ)( x + y − xy )

y (γ + ( 1 − γ)( x + y − xy )) − xy (γ + ( 1 − γ)( 1 − y ))
γ + (

g( x , y ) x =

1 − γ)( x + y − xy )

− γ) y 2 − γ) xy 2 − γ) xy 2

γ y + ( − γ) xy + ( − ( − ( − γ) xy + (

1 1 1 1 1

=

γ + ( 1 − γ)( x + y − xy )

γ y + ( 1 − γ) y 2
γ + ( 1 − γ)( x + y − xy )

y (γ ( 1 − y ) + y )
γ + ( 1 − γ)( x + y − xy )

(1.272) = = > 0

which indicates that g(

, )

x y is an increasing function of x . Similarly, we can prove

that g(

, )

x y is also an increasing function of y .

− x ) λ
( 1 + (γ − 1 ) x ) λ + (γ − 1 )( 1 − x ) λ

) x ) λ − ( γ x λ

( 1 + (γ − 1 ) x ) λ + (γ − 1 ) x λ

( + (γ −

1 1 1

Let h ( x ) = and r ( x ) = ,

then