Schwellenwertelemente - Computational Intelligence - page 19

Um die Disjunktion der Ausgaben der Neuronen aus Schritt 2 zu berechnen, müs-
sen wir in dem m -dimensionalen Hypereinheitswürfel der Konjunktionen die Ecke
( 0, . . . , 0 ) ,fürdiederWert0geliefertwerdensoll,vonallenanderenEcken,fürdie
der Wert 1 geliefert werden soll, abtrennen. Das kann z. B. durch die Hyperebene mit
dem Normalenvektor ( 1, . . . , 1 ) und dem Stützvektor ( 2 ,0,...,0 ) geschehen. (Zur
Ve r ans c hau l i c hung b e t r a c h t e man wi ede r den d r e i d imens i ona l en Fa l l . ) Aus de r zu -
gehörigen Gleichung liest man die in Schritt 3 angegebenen Parameter ab.
3.5 Training der Parameter
Mit der in Abschnitt 3.2 besprochenen geometrischen Interpretation der Berechnun-
gen eines Schwellenwertelementes verfügen wir (zumindest für Funktionen mit 2
und 3 Variablen) über eine einfache Möglichkeit, zu einer gegebenen linear separa-
blen Funktion ein Schwellenwertelement zu bestimmen, das sie berechnet: Wir su-
chen eine Gerade, Ebene oder Hyperebene, die die Punkte, für die eine 1 geliefert
werden soll, von jenen trennt, für die eine 0 geliefert werden soll. Aus der Gleichung
dieser Gerade, Ebene bzw. Hyperebene können wir die Gewichte und den Schwel-
lenwert ablesen.
Mit diesemVerfahren stoßen wir jedoch auf Schwierigkeiten, wenn die zu berech-
nende Funktion mehr als drei Argumente hat, weil wir uns dann den Eingaberaum
nicht mehr vorstellen können. Weiter ist es unmöglich, dieses Verfahren zu automa-
tisieren, da wir ja eine geeignete Trenngerade oder -ebene durch „Anschauen“ der
zu trennenden Punktmengen bestimmen. Dieses „Anschauen“ können wir mit ei-
nem Rechner nicht direkt nachbilden. Um mit einem Rechner die Parameter eines
Schwellenwertelementes zu bestimmen, so dass es eine gegebene Funktion berech-
net, gehen wir daher anders vor. Das Prinzip besteht darin, mit zufälligen Werten
für die Gewichte und den Schwellenwert anzufangen und diese dann schrittweise
zu verändern, bis die gewünschte Funktion berechnet wird. Das langsame Anpassen
der Gewichte und des Schwellenwertes nennt man auch Lernen oder (um Verwechs-
lungen mit dem viel komplexeren menschlichen Lernen zu vermeiden) Tr a i n i ng des
Schwellenwertelementes.
Um ein Verfahren zur Anpassung der Gewichte und des Schwellenwertes zu fin-
den, gehen wir von folgender Überlegung aus: Abhängig von den Werten der Ge-
wichte und dem Schwellenwert wird die Berechnung des Schwellenwertelementes
mehr oder weniger richtig sein. Wir definieren aufgrund dessen eine Fehlerfunkti-
on e ( w 1 ,..., w n , ) ,dieangibt,wiegutdiemitbestimmtenGewichtenundeinembe-
stimmten Schwellenwert berechnete Funktion mit der gewünschten übereinstimmt.
Unser Ziel ist natürlich, die Gewichte und den Schwellenwert so zu bestimmen, dass
der Fehler verschwindet, die Fehlerfunktion also 0 wird. Um das zu erreichen, ver-
suchen wir in jedem Schritt den Wert der Fehlerfunktion zu verringern.
Wir veranschaulichen das Vorgehen anhand eines sehr einfachen Beispiels, näm-
lich eines Schwellenwertelementes mit nur einem Eingang, dessen Parameter so be-
stimmt werden sollen, dass es die Negation berechnet. Ein solches Schwellenwert-
element ist in Abbildung 3.12 zusammen mit den beiden Trainingsbeispielen für die
Negation gezeigt: Ist der Eingang 0, so soll eine 1, ist der Eingang 1, so soll eine 0
ausgegeben werden.