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1.0
0.5
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Abbildung 14.15: Vereinigung und Durchschnitt einer Fuzzy-Menge mit ihremKom-
plement
was gleichbedeutend ist mit
[[
x
µ
]]
=
[[
¬(
x
µ
)
]] .
Die Abbildung 14.14 veranschaulicht Durchschnitts-, Vereinigungs- und Komple-
mentbildung für Fuzzy-Mengen.
Die Komplementbildung für Fuzzy-Mengen ist zwar wie das Komplement für ge-
wöhnliche Mengen involutorisch, d. h., es gilt
µ
=
µ
.JedochsinddieGesetzefürklas-
sische Mengen, dass der Durchschnitt einer Menge mit ihrem Komplement die leere,
die Vereinigung mit ihrem Komplement die Grundmenge ergibt, abgeschwächt zu
(
µ
µ
)(
x
)
0.5 und
(
µ
µ
)(
x
)
0.5 für alle
x
aus der Grundmenge. In Abbildung
14.15 ist dieser Sachverhalt noch einmal verdeutlicht.
We rden de r Dur chs chn i t t und d i e Ve re i n i gung auf de r Grund l age de s Mi n imums
bzw. des Maximums definiert, kann man auf die im Abschnitt 14.3 eingeführte Re-
präsentation von Fuzzy-Mengen durch die Niveaumengen zurückgreifen. Es gilt
[
µ
1
µ
2
]
= [
µ
1
]
[
µ
2
]
[
µ
1
µ
2
]
= [
µ
1
]
[
µ
2
]
und
für alle
[
0, 1
]
. Die Niveaumengen des Durchschnitts und der Vereinigung zweier
Fuzzy-Mengen ergeben sich nach diesen beiden Gleichungen als Durchschnitt bzw.
Vereinigung der Niveaumengen der einzelnen Fuzzy-Mengen.
