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In-Depth Information
,,
a
,
b
a
,
b
,
c
,
d
c
,
d
,,
1
a
b
c
d
Abbildung 14.6: Die Trapezfunktionen
,,
a
,
b
,
a
,
b
,
c
,
d
und
c
,
d
,,
µ
1
[
µ
]
Abbildung 14.7: Die
-Niveaumenge oder der
-Schnitt
[
µ
]
der Fuzzy-Menge
µ
bezeichnet man als
vertikale Sicht
.EineandereMöglichkeit,Fuzzy-Mengenzube-
schreiben, bietet die
horizontale Sicht
,beidermanfürjedenWert
aus dem Ein-
heitsintervall die Menge der Elemente betrachtet, die einen Zugehörigkeitsgrad von
mindestens
zur Fuzzy-Menge besitzen.
Definition 14.2
Es sei
µ
F(
X
)
eine Fuzzy-Menge der Grundmenge X und es sei
0
1
.Die(gewöhnliche)Menge
[
µ
]
= {
x
X
|
µ
(
x
)
}
heißt -
Niveaumenge
oder -
Schnitt
der Fuzzy-Menge
µ
.
Abbildung 14.7 zeigt den
-Schnitt [
µ
]
der Fuzzy-Menge
µ
für den Fall, dass
µ
eine Trapezfunktion ist. Der
-Schnitt ist dann ein abgeschlossenes Intervall. Für be-
liebige Fuzzy-Mengen gilt weiterhin, dass eine Fuzzy-Menge über den reellen Zah-
len genau dann konvex ist, wenn alle ihre Niveaumengen Intervalle sind. In Abbil-
dung 14.8 ist der aus zwei disjunkten Intervallen bestehende
-Schnitt einer nicht-
konvexen Fuzzy-Menge dargestellt.
Eine wichtige Eigenschaft der Niveaumengen einer Fuzzy-Menge ist, dass sie die
Fuzzy-Menge eindeutig charakterisieren. Kennt man die Niveaumengen
[
µ
]
einer
Fuzzy-Menge
µ
für alle
[
0, 1
]
,solässtsichderZugehörigkeitsgrad
µ
(
x
)
eines
beliebigen Elementes
x
zu
µ
durch die Formel
µ
(
x
)=
sup
[
0, 1
]
|
x
[
µ
]
(14.1)
bestimmen. Geometrisch bedeutet dies, dass eine Fuzzy-Menge die obere Einhüllen-
de ihrer Niveaumengen ist.
