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µ
1
[
µ
]
[
µ
]
der
Abbildung 14.8: Der aus zwei disjunkten Intervallen bestehende
-Schnitt
Fuzzy-Menge
µ
Die Charakterisierung einer Fuzzy-Menge durch ihre Niveaumengen erlaubt es
uns später in den Abschnitten 14.5 und 15, Operationen auf Fuzzy-Mengen niveau-
weise auf der Ebene gewöhnlicher Mengen durchzuführen.
Man verwendet den Zusammenhang zwischen einer Fuzzy-Menge und ihren Ni-
veaumengen häufig auch zur internen Darstellung der Fuzzy-Menge in einem Rech-
ner. Man beschränkt sich auf die
-Schnitte für endlich viele ausgewählte Werte
,
beispielsweise
=
0.25, 0.5, 0.75, 1, und speichert die zugehörigen Niveaumengen ei-
ner Fuzzy-Menge. Um den Zugehörigkeitsgrad eines Elementes
x
zur Fuzzy-Menge
µ
zu bestimmen, kann dann die Formel (14.1) herangezogen werden, wobei das Su-
premum nur noch über die endlich vielen Werte von
gebildet wird. Auf diese Wei-
se werden die Zugehörigkeitsgrade diskretisiert, und man erhält eine Approxima-
tion der ursprünglichen Fuzzy-Menge. Abbildung 14.10 zeigt die Niveaumengen
[
µ
]
0.25
,
[
µ
]
0.5
,
[
µ
]
0.75
und
[
µ
]
1
der in Abbildung 14.9 dargestellten Fuzzy-Menge
µ
.
Verwendet man nur diese vier Niveaumengen zur Speicherung von
µ
,ergibtsich
die Fuzzy-Menge
µ
(
x
)=
max
{
0.25, 0.5, 0.75, 1
}|
x
[
µ
]
in Abbildung 14.11 als Approximation für
µ
.
Die Beschränkung auf endlich viele Niveaumengen bei der Betrachtung oder
Speicherung einer Fuzzy-Menge entspricht einer Diskretisierung aller Zugehörig-
keitsgrade. Neben dieser vertikalen Diskretisierung kann auch eine horizontale Dis-
kretisierung, d. h., der Domänen, vorgenommen werden. Wie fein oder grob die
Diskretisierungen der beiden Richtungen zu wählen sind, ist problemabhängig, so
dass es hierzu keine generellen Aussagen gibt. Allgemein bringt eine große Genau-
igkeit für die Zugehörigkeitsgrade selten signifikante Verbesserungen, da die Zuge-
hörigkeitsgrade meist lediglich heuristisch ermittelt oder ungefähr angegeben wer-
den können und ein menschlicher Experte bei einer Beurteilung ebenfalls nur auf
eine begrenzte Anzahl von Unterscheidungsstufen bzw. Akzeptanz- oder Zugehö-
rigkeitsgraden zurückgreift.
