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(1, 1, 1)
Abbildung 3.7: Anschauliche
Darstellung dreistelliger Boo-
lescher Funktionen.
x
3
x
2
x
1
(0, 0, 0)
x
1
2
2
x
3
y
x
2
x
2
1
x
1
2
x
3
Abbildung 3.8: Geometrie des Schwellenwertelementes für die dreistellige Funktion
(
x
1
x
2
) (
x
1
x
3
) (
x
2
x
3
):DieimlinkenDiagrammeingezeichneteEbenehat
die Gleichung 2
x
1
2
x
2
+ 2
x
3
= 1.
die der Entscheidungsbedingung dieses Schwellenwertelementes entspricht, grau
eingezeichnet. Außerdem sind die Eingabevektoren, für die in der Tabelle aus Ab-
bildung 3.4 ein Ausgabewert von 1 berechnet wurde, mit einem ausgefüllten Kreis
markiert. Für alle anderen Ecken des Einheitswürfels wird eine 0 geliefert.
Auch hier kann die Seite der Ebene, auf der eine 1 als Ausgabe berechnet wird,
aus dem Normalenvektor der Ebene abgelesen werden: Aus der Ebenengleichung
erhält man den Normalenvektor
n
=(2, 2, 2),derausderZeichenebeneheraus
nach rechts oben zeigt.
3.3 Grenzen der Ausdrucksmächtigkeit
Die im vorangehenden Abschnitt betrachteten Beispiele — insbesondere das Schwel-
lenwertelement mit drei Eingängen — lassen vielleicht vermuten, dass Schwellen-
wertelemente recht mächtige Verarbeitungseinheiten sind. Leider sind
einzelne
die-
ser Schwellenwertelemente aber in ihrer Ausdrucksmächtigkeit stark eingeschränkt.
Wie wir anhand der geometrische Interpretation ihrer Berechnungen wissen, können
Schwellenwertelemente nur solche Funktionen darstellen, die, wie man sagt,
linear
separabel
sind, d. h., solche, bei denen sich die Punkte, denen die Ausgabe 1 zugeord-
net ist, durch eine lineare Funktion — also eine Gerade, Ebene oder Hyperebene —
von den Punkten trennen lassen, denen die Ausgabe 0 zugeordnet ist.
Nun sind aber nicht alle Funktionen linear separabel. Ein sehr einfaches Beispiel
einer nicht linear separablen Funktion ist die Biimplikation (
x
1
x
2
), deren Wer-
tetabelle in Abbildung 3.9 links gezeigt ist. Bereits aus der graphischen Darstellung
dieser Funktion, die in der gleichen Abbildung rechts gezeigt ist, sieht man leicht,
dass es keine Trenngerade und folglich kein diese Funktion berechnendes Schwel-
lenwertelement geben kann.
