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r
0
x
(
t
)
0
Abbildung 9.10: Ein vektorielles
rückgekoppeltes neuronales Netz
zur Berechnung der Umlaufbahn
eines Planeten.
m
t
t
v
(
t
)
v
0
0
y
Abbildung 9.11: Durch das rück-
gekoppelte neuronale Netz aus
Abbildung 9.10 berechnete Bahn
eines Planeten. Die Sonne steht
im Koordinatenursprung.
0.5
x
1
0.5
0
0.5
wobei
=
6.672
·
10
11
m
3
kg
1
s
2
die Gravitationskonstante ist. Diese Gleichung
beschreibt die durch die Massenanziehung zwischen Sonne und Planet hervorgeru-
fene Beschleunigung des Planeten. Wie im Beispiel des schrägen Wurfs führen wir
die Zwischengröße
v
=
˙
r
ein und gelangen so zu dem Differentialgleichungssystem
v
=
m
r
|
˙
˙
r
=
v
,
r
|
3
.
Aus diesem System erhalten wir die vektoriellen Rekursionsformeln
r
(
t
i
)=
r
(
t
i
1
)+
t v
(
t
i
1
)
,
v
(
t
i
)=
v
(
t
i
1
)
t m
r
(
t
i
1
)
|
r
(
t
i
1
)|
3
,
die sich durch zwei vektorielle Neuronen darstellen lassen, siehe Abbildung 9.10.
Man beachte allerdings, dass in diesem Fall das untere Neuron eine (im Vergleich
zu den bisherigen) etwas ungewöhnliche Netzeingabefunktion benötigt: Eine einfa-
che Multiplikation der Ausgabe des oberen Neurons mit dem Verbindungsgewicht
reicht hier nicht aus.
Eine Beispielrechnung mit
m
= 1,
r
0
=(0.5, 0) und
v
0
=(0, 1.63) (nach einem
Beispiel aus [Feynman u. a. 1963]) zeigt Abbildung 9.11. Man erkennt sehr schön
die sich ergebende elliptische Bahn, auf der sich der Planet in Sonnennähe (Perihel)
schneller bewegt als in Sonnenferne (Aphel). Dies illustriert die Aussage der beiden
ersten
Keplerschen Gesetze
,nachdenendieBahneinesPlaneteneineEllipseistund
ein Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten in gleichen Zeiten gleiche Flächen über-
streicht.
9.4 Fehler-Rückpropagation in der Zeit
Rechnungen wie die bisher durchgeführten sind natürlich nur möglich, wenn man
sowohl die Differentialgleichung kennt, die den betrachteten Wirklichkeitsbereich
