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+
+
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++
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0
2
4
+++
Abbildung 8.5: (Vereinfachter) Zustandsgraph des Hopfield-Netzes aus Abbil-
dung 8.2, in dem die Zustände nach ihrer Energie angeordnet sind. Die beiden stabi-
len Zustände sind grau unterlegt.
u
1
1
Abbildung 8.6: Ein Hopfield-Netz
mit drei Neuronen und von 0 ver-
schiedenen Schwellenwerten.
2
u
2
1
2
2
u
3
1
Die im Beweis des obigen Satzes eingeführte Energiefunktion spielt im folgen-
den eine wichtige Rolle. Wir betrachten sie daher — aber auch zur Illustration des
obigen Satzes — am Beispiel des einfachen Hopfield-Netzes aus Abbildung 8.2. Die
Energiefunktion dieses Netzes ist
E
=
act
u
1
act
u
2
2act
u
1
act
u
3
act
u
2
act
u
3
.
Sobald wir alle Zustände des Zustandsgraphen dieses Hopfield-Netzes (vergleiche
Abbildung 8.4) nach ihrer Energie anordnen, wobei wir der Übersichtlichkeit halber
die Schleifen und die Kantenbeschriftungen weglassen, erhalten wir Abbildung 8.5,
in der die beiden stabilen Zustände deutlich als die Zustände geringster Energie
zu erkennen sind. Man beachte, dass es keine Zustandsübergänge von einem tiefer-
liegenden zu einem höherliegenden Zustand gibt, was einer Energieerhöhung ent-
spräche, und dass alle Zustandsübergänge zwischen Zuständen gleicher Energie die
Zahl der
+
1-Aktivierungen erhöhen. Dies veranschaulicht die Ableitungen des ge-
rade geführten Beweises.
Allerdings muss sich nicht notwendigerweise ein solch hochsymmetrischer Zu-
standsgraph ergeben wie dieser, selbst wenn das Netz starke Symmetrien aufweist.
Als Beispiel betrachten wir das in Abbildung 8.6 gezeigte Hopfield-Netz. Obwohl
dieses Netz die gleiche Symmetriestruktur hat wie das in Abbildung 8.3 gezeigte,
hat es, durch die nicht verschwindenden Schwellenwerte, einen ganz andersartigen
Zustandsgraphen. Wir geben hier nur die Form an, in der die Zustände nach den
We r t en de r Ene rg i e f unk t i on
E
=
2act
u
1
act
u
2
2act
u
1
act
u
3
+
2act
u
2
act
u
3
act
u
1
act
u
2
act
u
3
