Schnittgrößen und zugehörige Spannungen in Stabquerschnitten - Technische Mechanik fur Bauingenieure - page 51

Für ein Biegemoment bestimmter Größe hängt die Krümmung eines Stabelementes
also nur ab von E und I. Der Elastizitätsmodul E kennzeichnet den Einfluss des
Materials, das axiale Trägheitsmoment I denjenigen von Querschnittsgröße und -
form. Das Produkt EI nennt man Biegesteifigkeit.
Wir vergleichen die oben für die Krümmung und für die Dehnung (siehe Abschnitt
2.3.1) ermittelten Ausdrücke und stellen große Ähnlichkeit im Aufbau fest. Wie
eine Multiplikation der Dehnung mit dl die gegenseitige Verschiebung der zwei
zugehörigen Querschnitte lieferte, so liefert eine Multiplikation der Krümmung mit
dl die gegenseitige Neigung der entsprechenden zwei Querschnitte:
dl

M

y

Ȥ dl ⋅ = = tan dij dij ≈ = ⋅ dl .

ȡ EI ⋅

y

Bei der Untersuchung des Zugstabes (Abschnitt 2.3.1) konnten wir von der Verfor-
mung des Stabelements durch Integration über die Stablänge auf die wesentliche
Verformung des ganzen Stabes übergehen, also dessen Längenänderung bestimmen.
Ein ähnlicher Übergang zu einer entsprechenden Größe, nämlich der - senkrecht zur
unverformten Stabachse gemessenen - Durchbiegung w ist hier auch möglich; da er
hier nicht ganz so einfach ist wie dort, werden wir in einem besonderen Kapitel
später darüber sprechen.
Zum Schluss wieder die Frage: Welche Belastung erzeugt in einem Balken aus-
schließlich, den hier ermittelten Spannungs- und Verformungszustand? Für die
Antwort zunächst eine Definition: Eine durch Stabachse und eine der beiden
Schwerpunktshauptachsen aufgespannte Ebene nennen wir Hauptebene (Bild 35).
und nun die Antwort: Ein in seinen Endquerschnitten angreifendes und in einer
Hauptebene wirkendes Momentenpaar (Bild 35).

2.4 Spannungen in einem Rechteckquerschnitt , auf den
eine Querkraft, gehörend zu einer Biegemomentenän-
derung, wirkt

Während zu Normalkräften und Biegmomenten eine Querschnittsbelastung durch
Normalspannungen gehört, stellt eine Querkraft, wie sie etwa in Bild 36 auftritt, die
Resultierende von Tangentialspannungen dar. Wir haben in Bild 36 eine Querkraft
V z und über den Querschnitt (irgendwie) verteilte parallel zu V z verlaufende Schub-
spannungskräfte dargestellt und wollen jetzt das Verteilungsgesetz ermitteln. Wie
bisher schreiben wir zunächst die Äquivalenzbedingungen an: