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1
Δ
l
(
)
l
+
Δ
l
1
+
⎛
+=
πγ
2
l
tan
=
⎜
⎟
1
Δ
l
⎝
42
⎠
(
)
l
−
Δ
l
1
−
2
l
γ
1
+
tan
tan tan
1 n n
α+ β
−αβ
§
π
γ
·
2
wegen tan (
α
+
β
) =
gilt tan
+
=
,
¨
©
¸
¹
γ
4
2
1
−
tan
2
sodass wir schreiben können
γ
1
+
tan
1
+
ε
. Daraus folgt:
γ
2
1
=
=
ε
1
.
γ
1
−
ε
1
−
tan
1
2
=
τ
σ
τ
σ
1
1
Mit
γ
und
ε
1
=
(1 +
μ
) erhält man
=
(1 +
μ
).
E
2
G
E
Drücken wir nun noch
τ
durch
σ
1
aus, dann erhalten wir schließlich die gesuchte
Beziehung zwischen G, E und
μ
.
Zur Ermittlung von
1
) zerlegen wir das Element wie dargestellt und bringen
in den Schnittflächen die Kräfte
16)
an (allgemein infolge
τ
= f(
σ
).
Eine Gleichgewichtsbetrachtung etwa des rechten oberen Dreiecks liefert dann das
Gleichungssystem
σ
und
τ
1
l 1
l 1
¦
σ
= 0:
;
K
σ
2l
+ σ
2
− σ
2
=
0
1
1
2
2 2
2 2
1
l
¦
τ
= 0:
τ
;
K
2l
−σ
2
=
0
1
2
2
Es hat die Lösung
σ
= 0 und
τ
=
σ
1
. Wir setzen
τ
=
σ
1
, in den o.a. Ausdruck ein,
dividieren beide Seiten durch
σ
1
und erhalten nach einer Umstellung die gesuchte
Beziehung für den
E
Gleitmodul: G =
2(1
+μ
)
16)
Solche Gleichgewichtsbetrachtungen werden wir noch oft anstellen. Dabei muss stets
bedacht werden, dass Spannungen keine Kräfte sind sondern erst zu resultierenden Kräften
zusammengefasst werden müssen.
