Biegebeanspruchungen - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 290

zitätsmodul eines Elastomers gilt nur nahe am Koordinatenursprung. Ab Punkt 1
ändert sich dieser Wert in Abhängigkeit von Spannung zu Dehnung und es liegt
deutlich nichtlineares elastisches Werkstoffverhalten vor. Die Tangente an einem
beliebigen Punkt der Kurve gibt den Anstieg und damit den Elastizitätsmodul an
dieser Stelle wieder. Kennt man den Funktionsverlauf, kann durch Differenzieren
der Anstieg in jedem Kurvenpunkt ermittelt werden.
Bei gemessenen Werkstoffkurven ist der Funktionsverlauf häufig schwierig zu
beschreiben. Es ist aber oft ausreichend, einem begrenzten Betriebsbereich einen
linearisierten Elastizitätsmodul zuzuordnen. In Abb. 5.11. wird beispielhaft die Vor-
gehensweise gezeigt. An der nichtlinearen Kurve wurde am Punkt 3 eine Tangente
und ein Bereich

festgelegt. Über den Differenzenquotienten kann als
angenäherter Wer t der Anstieg und damit

Δσ und Δε

2

' 0 , 13 N / mm

2

der E-Modul

E | | 6 , N / mm

3

' 0,02

berechnet werden.
Das FE-System erfasst die Stützpunkte der Werkstoffdaten und formuliert daraus
eine Funktion. Diese Werkstoffkurve bildet die Grundlage für alle Berechnungen.
Das nichtlineare Werkstoffverhalten erfordert einen besonderen Rechenablauf. Zu
Beginn der Rechnung ist der wirkliche E-Modul nicht bekannt, denn er ist span-
nungs- und dehnungsabhängig. Das FE-System nimmt deshalb für den 1. Lastschritt
(1. LS) einen Ausgangswert an und berechnet damit die Knotenverschiebungen.
Daraus werden Dehnungen und Spannungen abgeleitet, die für die Elemente die
Berechnung der E-Moduln ermöglichen. Der Vergleich mit den E-Moduln der Werk-
stoffkurve beendet bei Übereinstimmung den Lastschritt. Anderenfalls wird mit ei-
nem veränderten Ausgangswert eine neue Rechnung gestartet. Die Lösung wird ite-
rativ erreicht, d. h. das FE-System probiert.
Die Gesamtlast muss in Einzellasten aufgeteilt und aufgebracht werden. Das ver-
hindert das Auftreten zu großer Verformungen, die nach FE-Theorie unzulässig sind.
Ein Lastschritt wird abgeschlossen, wenn die Einzellast Knotenverschiebungen her-
vorbringt, die die Bedingungen der Werkstoffkurve erfüllen - die Rechnung konver-
giert. Die Gesamtrechnung ist mit dem Vollzug des letzten Lastschrittes abgeschlos-
sen.
In Tafel 5/4.1 wird der bereits bekannte Rechteckbalken mit nicht konstantem
Querschnitt für einen elastomeren Werkstoff untersucht. Die Dicke des Balkens wurde
auf s = 20 mm erhöht und die Belastung auf F = 10 N gesenkt. Vernetzung und
Randbedingungen wurden beibehalten. Mit diesen Daten lassen sich die Besonder-
heiten bei der Verwendung hochelastischer Werkstoffe günstig zeigen.
Der Rechenablauf ist geprägt durch das nichtlineare Werkstoffverhalten. Eine
schrittweise Steigerung der Belastung erfolgte automatisch gesteuert durch das FE-
System. Begonnen wurde im 1. LS (Lastschritt) mit 1 N. Nach erfolgreicher Berech-
nung folgte eine Steigerung um 1 N, so dass jetzt insgesamt 2 N in den Balken
eingeflossen sind.
Nach jedem konvergierten Lastschritt werden die verschobenen Knotenkoordina-
ten als Basis für den nächsten Lastschritt zugrunde gelegt. Die Lastschrittsteigerung