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Ausschwingversuch eines Einmassenschwingers
Bewegungsgleichung:
mq
+
d q
+
kq
=0
Standardform:
q
+2
δ q
+
ω
2
q
=0
Eigenkreisfrequenz:
ω
=
m
Kritische Dampfung:
d
krit
=2
√
km
Lehrsches Dampfungsmaß:
ξ
=
d
d
krit
d
2
m
=
ξω
Abklingkoezient:
δ
=
q
=
A
exp (
μt
)
Analytischer Losungsansatz
:
(
μ
2
+2
δμ
+
ω
2
)
A
exp (
μt
)=0
Einsetzen:
μ
2
+2
δμ
+
ω
2
=0
Charakteristische Gleichung:
±
i
ω
d
mit i =
√
−
1
Kreisfrequenz der gedampften Schwingung:
ω
d
=
ω
1
− ξ
2
Fallunterscheidung
:
Nichttriviale Losung (
A
=0):
μ
1
,
2
=
−
δ
ξ
= 0 (ungedampft):
q
=
a
1
cos(
ωt
)+
a
2
sin(
ωt
)
ξ<
1 (schwach gedampft):
q
=exp(
−δt
)[
a
1
cos(
ω
d
t
)+
a
2
sin(
ω
d
t
)]
=
a
exp(
−δt
)cos(
ω
d
t − ϕ
)
mit
a
=
a
1
+
a
2
und tan
ϕ
=
a
a
1
(
ϕ
: Nullphasenwinkel)
ξ
= 1 (aperiodischer Grenzfall):
q
=exp(
−ωt
)[
a
1
+
a
2
ωt
]
ξ>
1 (stark gedampft):
i
ω
d
t
)]
=exp(
−δt
)[
a
1
cosh(i
ω
d
t
)+
a
2
sinh(i
ω
d
t
)]
Ermittlung von
a
1
und
a
2
aus den Anfangsbedingungen
q
0
=
q
(0) und
q
0
=
q
(0)
q
=exp(
−
δt
)[
a
1
exp(i
ω
d
t
)+
a
2
exp(
−
Dampfungsbestimmung
fur
ξ<
1 aus Ausschwingversuch
q
=
q
(
t
):
Logarithmisches Dekrement:
Λ=ln
q
q
2
=
n
ln
q
1
q
(1+
n
)
=2ln
q
1
=2ln
b
b
2
|
q
(1+1
/
2)
|
q
1
,
q
2
: Extremwerte von
q
(
t
),
n
: Anzahl Perioden
Λ=
δT
=2
π
ω
d
=2
π
ξ
√
1
−ξ
2
,
Λ
≈
2
πξ
fur
ξ
1
Λ
√
4
π
2
+Λ
2
ξ
=
