Civil Engineering Reference
In-Depth Information
Frage: Sind
Ingenieurdehnungen
(lineare Dehnungen)
2
grad
u
+grad
T
u
=
1
2
F
+
F
−
1
lin
=
1
T
ε
mit
F
=
∂
x
∂
(
Deformationsgradient
)fur
geometrisch nichtlineare Analysen
geeignet?
Beispiel: 45
◦
Starrkorperrotation
X
Verschiebungen
u
=
x
−
X
bzw.:
u
=
1
2
(
X − Y
)
− X,v
=
1
2
(
X
+
Y
)
− Y
Dehnungen:
ε
li
x
=
1
2
−
1
,
li
y
=
1
2
−
1
, γ
lin
xy
=0
Antwort: Nein.
•
Die Ingenieurdehnungen liegen in der Großenordnung von 30
,obwohlder
%
Korper nicht gedehnt, sondern lediglich gedreht wird.
•
Außerdem sind Starrkorperrotationen spannungsfrei. Wurde man die Dehnungen
in ein Materialgesetz einsetzen, bekame man Werte ungleich null.
Fazit:
•
Geometrisch nichtlineare Analysen erfordern die Verwendung finiter Dehnungs-
maße, z.B.
logarithmischer Dehnungen
(wahre oder auch Hencky-Dehnungen):
3
ε
=ln
V
=
ln
λ
i
n
i
⊗
n
i
i
=1
T
=
V V
)
λ
i
: Hauptstreckungen (bei Starrkorperrotation:
λ
1
=
λ
2
=
λ
3
=1
→
ε
=
0
)
n
i
: Hauptrichtungen der aktuellen Konfiguration
Grenzwertbetrachtung am Beispiel des einaxialen Zugversuchs:
ε
=ln
λ
=ln
l
l
0
V
: Linker Strecktensor (Linker Cauchy-Green-Tensor
b
=
F F
l→l
0
=
⇒
ε
lin
=
l
−
l
0
=
λ −
1
l
0
•
Außerdem sollte man statt Ingenieurspannungen (Kraft pro Ausgangsflache; ers-
ter Piola-Kirchhoff-Spannungstensor
P
) die sogenannten
wahren Spannungen
(Kraft pro aktuelle Flache; Cauchy-Spannungstensor
σ
=
1
det
F
P F
T
) benutzen.
•
Das Produkt
σ ε
liefert die Leistung pro Einheitsvolumen (konjugierte Paarung).
