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6.3.2 Hyperelastizitat formuliert in Invarianten
In der Literatur findet sich eine Vielzahl unterschiedlicher Ansatze, von denen in diesem
Abschnitt nur die wichtigsten vorgestellt werden.
Invarianten
Erste Invariante:
I
b
=tr
b
=
λ
1
+
λ
2
+
λ
3
(6.36)
Zweite Invariante:
tr
2
2
=
λ
2
II
b
=
1
2
1
λ
2
2
+
λ
2
2
λ
2
3
+
λ
2
3
λ
2
b
−
tr
b
(6.37)
1
b
: Isochorer Anteil des linken Cauchy-Green-Verzerrungstensors
Eine d
ritte
Invariante wird nicht bzw. l
ed
igli
ch fur
den volumetrischen Anteil benotigt:
J
=
III
b
. Man beachte, dass III
b
=det
b
=
λ
2
1
λ
2
2
λ
2
3
=1.
Verallgemeinertes Mooney-Rivlin-Material (Polynommodell)
Isochorer Anteil der Formanderungsenergiefunktion (allgemeiner Ansatz):
∞
∞
C
ij
I
b
−
3
i
II
b
−
3
j
W
=
mit
C
00
= 0 (damit
W
(
b
=
1
) = 0)
(6.38)
i
=0
j
=0
Vereinfachter Ansatz mit entkoppelten Invarianten (
i
=0oder
j
=0):
W
=
∞
C
i
I
b
−
3
i
+
∞
C
j
II
b
−
3
j
(6.39)
i
=1
j
=1
Weitere Vereinfachung zu 6-Parameter-Ansatz:
W
=
C
1
I
b
−
3
+
C
2
I
b
−
3
2
+
C
3
I
b
−
3
3
+
C
4
II
b
−
3
+
C
5
II
b
−
3
2
+
C
6
II
b
−
3
3
(6.40)
Bei Anwendung von ein wenig Tensoralgebra
∂
I
b
∂
=
1
,
∂
II
b
∂
=I
b
1
−
b
und
∂
b
∂
=
I
ergibt sich
fur den 6-Parameter-Ansatz der (isochore bzw. deviatorische) Kirchhoff-Spannungstensor
τ
iso
=dev
b
b
b
zu:
τ
iso
=dev
2
∂W
τ
=2
C
1
+2
C
2
I
b
−
3
+3
C
3
I
b
−
3
2
dev
b
+
2
C
4
+2
C
5
II
b
−
3
+3
C
6
II
b
−
3
2
dev
I
b
b
−
b
∂
b
b
(6.41)
2
Wie auch das generalisierte Mooney-Rivlin-Modell (6.38) eignet sich die auf 6 Parame-
ter reduzierte Variante (6.40) fur sehr große Deformationen (mehrere 100
%
Dehnung).
Ist zur Parameteridentifikation nur ein Versuchstyp (meist der Zugversuch) verfugbar,
dann sollte uber Nebenbedingungen der
Einfluss der 2. Invariante
beschrankt werden:
C
4
C
1
,
C
5
C
2
,
C
6
10
...
2
1
Daumenwert:
C
3
=
10
