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Das ideale Filter
(Eingangs-)Zeitsignal, z.B. berechnete Beschleunigung
a
(
t
):
Symmetrische Erganzung des (endlichen) Zeitraums zur Vermeidung komplexer Zahlen:
a
(
t
)=
a
(
−t
). Uberfuhrung in den Frequenzraum mittels
Fouriertransformation
:
t
max
t
max
F
in
(
ω
)=
a
(
t
)exp(
−
i
ωt
)
dt
=2
a
(
t
)cos(
ωt
)
dt
=
F
in
(
−ω
)
∈
R
mit
ω ∈
[
−∞, ∞
]
−t
max
0
Numerische Auswertung mit
t
0
= 0 und
t
N
=
t
max
(vgl. Seite 102):
a
i
+1
− a
i
ω
2
(
t
i
+1
− t
i
)
[cos(
ωt
i
+1
)
ω
sin(
ωt
i
)
N
−
1
cos(
ωt
i
)] +
a
i
+1
ω
a
i
F
in
(
ω
)=2
−
sin(
ωt
i
+1
)
−
i
=0
Anwendung des
idealen Filters
H
(
ω
):
F
out
(
ω
)=
H
(
ω
)
F
in
(
ω
)=
F
out
(
−ω
) mit
H
(
ω
)=
1 ur
ω ≤ ω
c
=2
πf
c
0 ur
ω>ω
c
Eine
inverse Fouriertransformation
liefert als Ergebnis das gefilterte Zeitsignal:
∞
∞
a
f
(
t
)=
1
2
π
F
out
(
ω
) exp(i
ωt
)
dω
=
1
π
F
out
(
ω
)cos(
ωt
)
dω
−∞
0
F
out,i+1
−
F
out,i
t
2
(
ω
i
+1
− ω
i
)
[cos(
ω
i
+1
t
)
sin(
ω
i
t
)
N
−
1
=
1
π
cos(
ω
i
t
)]+
F
out,i+1
t
F
out,i
t
−
sin(
ω
i
+1
t
)
−
i
=0
