Civil Engineering Reference
In-Depth Information
Halbanalytische Fouriertransformation
Fouriertransformation des autokorrelierten Signals
R
x
(
τ
) (exakte Losung):
T/
2
S
x
(
ω
) = lim
T
R
x
(
τ
)exp(
−
i
ωτ
)
dτ
mit
ω
∈
[
−∞
,
∞
]
→∞
−T/
2
Endlicher (Mess-)Zeitraum:
T
mess
S
x
(
ω
)=
R
x
(
τ
)exp(
−
i
ωτ
)
dτ
−
T
mess
Ausnutzung der Symmetrie
R
x
(
τ
)=
R
x
(
−τ
)
∈
R
:
T
mess
S
x
(
ω
)=2
R
x
(
τ
)cos(
ωτ
)
dτ
0
Verwendung nur positiver Frequenzen (Symmetrie
S
x
(
ω
)=
S
x
(
−ω
)
∈
R
):
S
x
(
ω
)=2
S
x
(
ω
) mit
ω
≥
0
(4.42)
Stuckweise Linearisierung von
R
x
(
τ
) (mit
τ
0
= 0 und
τ
N
=
T
mess
):
R
x,i
+
R
x,i
+1
−
R
x,i
τ
i
+1
− τ
i
τ
i
)
cos(
ωτ
)
dτ
τ
i
+1
N
−
1
S
x
(
ω
)=4
(
τ
−
i
=0
τ
i
Analytische Integration (einige Umformungen spater):
R
x,i
+1
sin(
ωτ
i
)
N−
1
R
x,i
ω
2
(
τ
i
+1
−
−
τ
i
)
[cos(
ωτ
i
+1
)
−
cos(
ωτ
i
)]+
R
x,i
+1
R
x,i
ω
S
x
(
ω
)=4
sin(
ωτ
i
+1
)
−
ω
i
=0
Kontrollmoglichkeiten (Berechnung der Varianz der Variablen
x
(
t
)):
•
Varianz muss gleich dem mittleren quadratischen Fehler sein:
σ
x
=
E
x
2
.
•
Ablesen der Varianz aus dem autokorrelierten Signal:
σ
x
=
R
x
(
τ
=0).
•
Integration der spektralen Leistungsdichte
S
x
(
ω
) bzw.
S
x
(
f
) mit
f
=
2
π
:
σ
x
=
∞
0
S
x
(
f
)
df
=
∞
S
x
(
f
)
df
(4.43)
−∞
