Civil Engineering Reference
In-Depth Information
d
r
r
r
u
u
Bild 3.2■
Spannungen am Ringelement
Bild 3.3■
Zerlegung der Radialkraft
Spannung auf
r
+ d
r
geändert. Aus den Spannungen
r
und
u
ergeben sich nach Multi-
plikation mit den Flächen, an denen sie wirken, die Kräfte am differenziellen Ringelement.
Im Hinblick auf die zu formulierende Kräftegleichgewichtsbedingung in
y
-Richtung wer-
den die Kraftkomponenten in dieser Richtung benötigt. Für die Radialkraft ergibt sich die
y
-Komponente generell gemäß Bild 3.3.
Die differenzielle Radialkraft aus der Radialspannung ist für die Innenseite des Ringelements
r
d
=
. Analog erge-
ben sich die Kraft und ihre
y
-Komponente an der Außenseite des Ringes, nur dass hier die
differenziellen Zuwächse des Radius und der Radialspannung mit berücksichtigt werden
müssen. Die Umfangsspannung ist an jedem Schnittufer schon in
y
-Richtung orientiert,
sodass hier aus der Multiplikation mit der senkrecht zur Spannungsrichtung stehenden
Schnittfläche unmittelbar die interessierende Kraft folgt. Insgesamt erhält man unter Be-
achtung der als positiv definierten Richtung und nach Division durch
L
:
F
=
L
d
. Ihre Komponente in
y
-Richtung findet man zu
d
F
sin
d
F
r
r
y
r
π
π
(
)(
)
∫
∫
−
2
d
r
−
r
sin
d
++
d
r
+
d
r
sin
d
=
0
(3.1)
u
r
r
r
0
0
π
π
(
)(
)
∫
Wegen
sin
−
d
=
cos
=
2
folgt
−
2 d2
r
− + +
r
2
d
r
+=
und bei
d 0
r
u
r
r
r
0
0
Vernachlässigung von
d
sowie Umstellen der Gleichung ergibt sich:
d
r
−++
r
=
0
(3.2)
u
r
d
r
Das ist eine Differenzialgleichung für die beiden Unbekannten
u
und
r
. Zur Lösung wird
jedoch noch eine zweite Gleichung benötigt. Diese findet man durch Betrachtung der Deh-
nungen, die sich bei der Druckbelastung einstellen.
b) Bestimmung der Dehnungen
Dehnung in Umfangsrichtung
Aus Symmetriegründen kann eine Verschiebung des Ringelements nur radial um den
Betrag
x
erfolgen. Damit tritt eine Dehnung des Umfangs ein:
(
)
D
l
2
π
rx
+−
2
π
r
Änderung des Umfangs
Umfang
x
u
=
=
=
=
(3.3)
u
l
2
π
r
r
u
