Numerical Integration and Differentiation - Numerical Structural Analysis - page 122

Forward difference expressions with error order h 2 :

′ = −+ −

y 4 y 3 y

y

i + 2 i + 1 i

i

2
4

h

′′ = −+ −

y y 5 y + 2 y

i + 3 i + 2 i + 1 i

y

i

h

2

′′′ = −

3 y + 14 y − 24 y + 18 y − 5 y

y

i + 4 i + 3 i + 2 i + 1 i

i 3

2 h

′′′ ′= −

2 y + 11 y − 24 y + 26 y − 14 y + 3 y

y

i + 5 i + 4 i + 3 i + 2 i + 1 i

i

h

4

i i +++++ 1 i 2 i 3 i 4 i 5

hD
hD
hD
hD

2 − 3 4 − 1

22

2 − 5 4 − 1

33

2 − 5 18 − 24 14 − 3

44

3 4 − 26 − 24 11 − 2

Backward difference expressions with error order h :

yy
h

−

y

′ =

i i − 1

i

y − 2 y + y

i i − 1 i − 2

y ′′ =

i

h
y yy y

2

− 3 + 3

3

− y

′′′ =

i i − 1 i − 2 i − 3

i

h

y − 4 y + 6 y − 4 y + y

y

′′′ ′ =

i i − 1 i − 2 i − 3 i − 4

i

h

4

i −−−−

−
−

4 i 3 2 1

11
1 2 1
13 31

i i i

hD
hD
hD
hD

22

33

− −

44

1 − 4 6 − 4 1

Backward difference expressions with error order h 2 :

34
2
25 4

y − y + y

i i − 1 i − 2

y ′ =

i

h

yy y − + − y

i i − 1 i − 2 i − 3

y ′′ =

i

h

2