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12.7.2 Varianz aus Funktionen gegenseitig abhängiger (korrelierter)
Beobachtungen - Kovarianzfortpflanzungsgesetz
(Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz)
Funktion
f
(
x
1
,
x
2
,,
x
n
)
Linearisierung durch das totale Differential
y
=
f
x
1
dx
1
f
x
2
dx
2
f
x
n
dx
n
dy
=
+
+
+
Varianz der Funktion
y
Kovarianzfortpflanzungsgesetz
2
2
2
f
x
1
f
x
2
f
x
n
s
2
s
2
s
2
s
2
=
+
+
+
2
f
x
1
f
x
1
f
f
x
n
−
1
f
f
+
x
2
s
12
+
x
3
s
13
+
+
n
s
n
−
1,
n
s
2
q
yy
Gewichtsreziproke der Funktion y
s
2
=
q
yy
=
Standardabweichungen
s
i
=
s
12
s
n
−
1,
n
=
Kovarianzen
zwischen voneinander
abhängigen
Variablen
x
i
Matrizenschreibweise
m-dimensionaler Vektor
y
= Funktion des n-dimensionalen Vektors
x
f
1
(
x
1,
x
2,
,
x
n
)
f
2
(
x
1,
x
2,
,
x
n
)
f
m
(
x
1
,
x
2
,,
x
n
)
Funktion
y
=
f
(
x
)=
F
xx
F
T
Kovarianzmatrix der Funktion
y
yy
=
Die partiellen Ableitungen der Operators f(
x
) werden zusammengefasst in der
f
1
x
1
x
2
f
1
f
1
x
n
f
2
x
1
x
2
f
2
f
2
x
n
F
=
Funktionsmatrix
f
m
x
1
f
m
x
2
f
m
x
n
Kovarianzmatrix von
x
Kofaktorenmatrix
s
2
s
12
s
1
n
q
11
q
12
q
1
n
q
21
q
22
q
2
n
q
n
1
q
n
2
q
nn
s
2
s
2
n
s
21
s
2
Q
xx
xx
=
=
Q
xx
=
s
n
1
s
n
2
s
2
