Erdbeben und die Struktur der Erde - Einfuhrung in die Geophysik - page 86

Kasten 3.9 Die Methode der Singularwertzerlegung ( singular value decomposition - SVD) zur Bestimmung der
verallgemeinerte Inversen

Für die Singularwertzerlegung einer N N-Matrix G wird
zunächst wie in Lay &Wallace ( 1995 ) das zugehörige Ei-
genwertproblem betrachtet. Dies definiert, in Analogie zu
einer Koordinatentransformation eines Ortsvektors, die
Transformation eines Vektors x mit N Elementen auf
einen parallelen, mit dem Faktor œ skalierten Vektor:

Die auf diese Weise bestimmte diagonale Eigenwert-
matrix definiert nun ein neues Koordinatensystem zur
Darstellung von G , welches auf Hauptachsen transfor-
miert ist. Damit kann man ( 3.67 ) durch

GU D U ƒ : (3.72)

G x D œ x : (3.67) ausdrücken. Physikalisch betrachtet bedeutet dies, dass

sich die Änderung eines Elements in einem der Eigen-
vektoren auf der linken Seite von ( 3.72 ) auch nur in
der entsprechenden Änderung im gleichen Element des-
selben Eigenvektors auf der rechten Seite auswirkt. Im
Gegensatz dazu würde dieselbe Änderung in einem nicht
auf Hauptachsen transformierten System sich auf alle
Elemente des Gleichungssystems auswirken. Im Fall der
Lokalisierung von Erdbeben würde sich also beispiels-
weise eine Änderung in der Herdtiefe eines Bebens auf
die Laufzeiten an allen Erdbebenstationen auswirken.
Dagegen werden im Koordinatensystem der Eigenvekto-
ren die ursprünglichen Parameter bzw. Daten so auf den
neuen Parameter- bzw. Datenraum abgebildet, dass sich
eine Änderung eines einzigen Modellparameters auch nur
in einem einzigen Element des Datenvektors auswirkt.
Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms ( 3.70 ) sind
im Allgemeinen komplex. Für die in den Kap. 3 und 1
betrachteten Fragestellungen ergeben sich jedoch aus-
schließlich reelle Lösungen. Allerdings sind nicht not-
wendigerweise alle N Wurzeln ungleich null oder ver-
schieden. Im ersten Fall existieren eine oder mehrere der
Koordinatenachsen im Transformationsraum nicht und
werden somit auf den Ursprung des neuen Koordinaten-
systems abgebildet. Damit können entsprechend weniger
Parameter aufgelöst werden. Im zweiten Fall werden die
Eigenwerte als entartet bezeichnet. Ein k-fach entarteter
Eigenwert entspricht damit nicht mehr einem einzelnen
Eigenvektor, sondern einer n-dimensionalen Hyperebene,
welche von den k entarteten Eigenvektoren aufgespannt
wird. Damit verlieren die Eigenvektoren ihre Eindeutig-
keit, und k beliebige Vektoren der Hyperebene beschrei-
ben die betreffende Untermenge des Parameterraums.
Multipliziert man ( 3.72 ) von links mit der Inversen von
U , so erhält man die Diagonalmatrix der Eigenwerte:

Die zu ( 3.67 ) gehörige homogene Gleichung, bei der die
rechte Seite verschwindet, lautet:

Œ G œ I x D 0 ; (3.68)

wobei I und 0 die diagonale Einheitsmatrix und der
Nullvektor sind. Dieses homogene Gleichungssystem hat
dann, und nur dann, eine nicht-triviale (von null verschie-
dene) Lösung, wenn seine Determinante verschwindet:

det Œ G œ I

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

G 1;1 œ G 1;2 G 1;3 G 1; N

G 2;1 G 2;2 œ G 2;3 G 2;4

D D 0:

: : :

: : :

G N ;1 G N ;2 G N ;3 G N ; N œ

(3.69)

Die Determinante ( 3.69 ) wird durch ein Polynom N-ter
Ordnung in œ

ausgedrückt, das charakteristische Poly-
nom, dessen N Lösungen die Eigenwerte von G sind:

N N 1 N 2

œ C a N1 œ C a N2 œ CC a 0 D 0: (3.70)

Jedem der N Eigenwerte œ i entspricht ein spezieller Ei-

T , wobei jede dieser
Kombinationen von Eigenwerten und Eigenvektoren die
( 3.67 ) löst. Mit den Eigenwerten und Eigenvektoren wer-
den die zwei zugehörigen N N-Matrizen

genvektor u D Πu 1 ; i ; u 2 ; i ;::: u N ; i

ƒ und U

definiert:

2
4

3
5 I

œ 1 00 0

0 2 0 0

ƒ D

: : :

: : :

000 œ N

ƒ D U 1 GU :

(3.73)

2
4

3
5 :

u 1;1 u 1;2 u 1;3 u 1; N

Im Beispiel des Spannungsfelds wäre G hierbei ein be-
liebiger Spannungstensor, die Eigenwerte würden die
Größe der Hauptspannungen angeben und die Eigenvek-
toren in die Richtung der Hauptspannungen weisen.

U 2;1 u 2;2 u 2;3 u 2;4

U D (3.71)

: : :

: : :

u N ;1 u N ;2 u N ;3 u N ; N