Geoscience Reference
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Gesucht ist die Schwerebeschleunigung g
D
GM
E
=.
r
E
/
2
.
Die Dichte
¡
hängt jeweils vom Ort ab. Für die Masse der Er-
und dem Breitengrad
¥
ergibt sich für die auf der topogra-
fischen Höhe h
D 450
m über NN gelegenen Quelle ein
de gilt: M
E
D
”
¡
dV. Für das Modell einer linearen Dich-
tezunahme verwendet man zweckmäßigerweise Kugelkoor-
dinaten: Radius r, Polhöhe
™
und Länge
œ
. Damit gilt für das
Volumenelement: dV
D
dx dy dz
D
r
2
sin
™
d
™
d
œ
dr und für
die Masse: M
E
Radius von:
r
E
D .
a
C
h
/.1 .
fsin
2
¥//
D 6378
km
.1 .0;003 353
sin
2
47
ı
// 6367
km
:
D
R
r
E
r
R
™
D
0
R
2
œ
D
0
¡.
r
;™;œ/
r
2
sin
™
d
™
d
œ
dr.
Die Dichte hängt nicht von der Polhöhe
™
oder der Län-
ge
D
0
Für die Mündung ergibt sich ein Radius von:
œ
ab, sondern nur vom Radius. Daher gilt: M
E
D
4
R
r
E
rD
0
¡
r
2
dr. Mit
¡ D
a
br
=
r
E
folgt entsprechend dem
linearen Modell:
r
E
D
a
.1 .
fsin
2
¥//
D 6378
km
.1 .0;003 353
sin
2
29
ı
// 6373
km
:
r
E
a
3
r
E
Z
ar
2
b
r
3
r
4
r
E
b
4
r
3
M
E
D 4
r
E
dr
D 4
Somit liegt die Mündung des Mississippi um 6 km weiter
vom Erdmittelpunkt entfernt als seine Quelle.
0
0
a
r
E
3
r
E
a
b
b
r
E
4
4
3
3
4
D 4
D
:
4.4
(b)
Wenn man sich entlang der Breitengrade
¥ D 1
ı
N
und
¥ D 89
ı
N
jeweils um
1
° längs des Breitenkreises be-
wegt, wie groß ist dann die Differenz der zurückgelegten
Strecken?
Gesucht sind die Erdumfänge U
.¥/
bei
¥ D 1
ı
N
und
¥ D 89
ı
N. Allgemein gilt für einen Kreis des
Radius r: U
D 2
r. Der Abstand zur Erdachse in
Abhängigkeit vom Breitengrad ergibt sich durch: r
D
r
E
cos
¥ D
a
.1 .
fsin
2
¥//
cos
¥
, wobei r
E
der Radius
in Abhängigkeit vom Breitengrad ist, a der Erdradi-
us am Äquator: a
D 6378;137
km, f
D 0;003 353
die Abplattung und
¥
der Breitengrad. Auf dem Brei-
tengrad 1° N beträgt der Abstand zur Erdachse somit:
r
.1
ı
N
/
D
a
.1 .
fsin
2
1
ı
//
cos
1
ı
D 6377
km. Daraus er-
gibt sich ein Umfang von: U
.1
ı
N
/
D 2
r
D 40 068
km. Auf
dem Breitengrad 89° N beträgt der Abstand zur Erdachse:
r
.89
ı
N
/
D
a
.1 .
fsin
2
89
ı
//
cos
89
ı
D 111
km. Daraus
ergibt sich ein Umfang von: U
.89
ı
N
/
D 2
r
D 697
km.
Es soll entlang beider Breitengrade jeweils 1° zurückgelegt
werden. Die Länge x der gefahrenen Strecke verhält sich
zum Umfang wie 1° zum Vollwinkel 360°: x
=
U
D 1
ı
=360
ı
,
also x
D
U
=360
. Für den Breitengrad 1° ergibt sich
eine Strecke von x
D 40 068
km
=360 D 111;3
km.
Für den Breitengrad 89° ergibt sich eine Strecke von
x
D 697
km
=360 D 1;94
km. Die Differenz beider Stre-
cken ist somit
111;3
km
1;94
km
D 109;36
km.
Mit r
E
D 6371
km, a
D 13 000
kgm
3
und b
D
9000
kgm
3
erhält man M
E
D 6;770 10
24
kg und so-
mit eine Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche von
11;13
ms
2
. Für das Schalenmodell gilt:
¡
K
D 2700
kgm
3
I
r
K
D 6347
Kruste:
km
C 24
km
D 6371
km
I
¡
M
D 5000
kgm
3
I
r
M
D 3480
km
C 2867
km
D 6347
km
I
Mantel:
¡
äK
D 11 000
kgm
3
I
r
äK
D 1222
km
C 2259
km
D 3481
km
I
Äußerer Kern:
¡
iK
D 13 000
kgm
3
I
r
iK
D 1222
km
:
Innerer Kern:
Mit dem Kugelvolumen V
D 4
r
3
=3
ergibt sich für die Erd-
masse:
4
3
Œ
r
iK
¡
iK
C .
r
äK
r
iK
/¡
äK
C .
r
M
r
äK
/¡
M
C .
r
E
r
M
/¡
K
D 6;462 10
24
kg
:
M
E
D
Daraus ergibt sich eine Schwerebeschleunigung an der Erd-
oberfläche von g
D 10;63
ms
2
.
Für Punkte an bzw. über der Erdoberfläche wirkt sich die
Massenverteilung in der Erde so aus, als wäre die Gesamt-
masse im Erdmittelpunkt konzentriert. Daher könnte durch
geeignete Anpassung einer mittleren Dichte bzw. einer ande-
ren linearen Dichteverteilung derselbe Schwerewert erreicht
werden wie mit der komplexeren radialen Dichteverteilung.
Für die Berechnung der Schwerebeschleunigung an im In-
nern der Erde gelegenen Punkten ist die genaue Verteilung
der Dichte jedoch entscheidend.
4.5
Bestimmen Sie die Erdanziehungskraft an der Oberflä-
che unter der Annahme, die Erde sei eine Kugel. Berechnen
Sie die Erdanziehung für ein Modell der linearen Zunahme
der Dichte mit der Tiefe:
¡ D 13 000
kgm
3
(
r
=
r
E
)wo
0
r
r
E
(
r
E
: sphärischer Erdradius) und für das
folgende Schalenmodell der Dichte: Kruste -
2700
kgm
3
-
9000
kgm
3
;
Mantel -
5000
kgm
3
; äußerer Kern -
11 000
kgm
3
; inne-
rer Kern -
13 000
kgm
3
. Wieso haben beide Modelle ihre
Berechtigung?