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Gesucht ist die Schwerebeschleunigung g D GM E =. r E / 2 .
Die Dichte ¡ hängt jeweils vom Ort ab. Für die Masse der Er-
und dem Breitengrad ¥ ergibt sich für die auf der topogra-
fischen Höhe h
D 450 m über NN gelegenen Quelle ein
de gilt: M E D ¡ dV. Für das Modell einer linearen Dich-
tezunahme verwendet man zweckmäßigerweise Kugelkoor-
dinaten: Radius r, Polhöhe und Länge œ . Damit gilt für das
Volumenelement: dV D dx dy dz D r 2 sin d d œ dr und für
die Masse: M E
Radius von:
r E D . a C h /.1 . fsin 2 ¥//
D 6378 km .1 .0;003 353 sin 2 47 ı // 6367 km :
D R r E
r
R D 0 R
œ D 0 ¡. r ;™;œ/ r 2 sin d d œ dr.
Die Dichte hängt nicht von der Polhöhe oder der Län-
ge
D 0
Für die Mündung ergibt sich ein Radius von:
œ
ab, sondern nur vom Radius. Daher gilt: M E
D
R r E
rD 0 ¡ r 2 dr. Mit ¡ D a br = r E folgt entsprechend dem
linearen Modell:
r E D a .1 . fsin 2 ¥//
D 6378 km .1 .0;003 353 sin 2 29 ı // 6373 km :
r E
a
3
r E
Z
ar 2 b r 3
r 4
r E
b
4
r 3
M E D 4 
r E dr D 4 
Somit liegt die Mündung des Mississippi um 6 km weiter
vom Erdmittelpunkt entfernt als seine Quelle.
0
0
a r E
3
r E a
b
b r E
4
3
3
4
D 4 
D
:
4.4 (b) Wenn man sich entlang der Breitengrade ¥ D 1 ı N
und ¥ D 89 ı N jeweils um 1 ° längs des Breitenkreises be-
wegt, wie groß ist dann die Differenz der zurückgelegten
Strecken?
Gesucht sind die Erdumfänge U .¥/ bei ¥ D 1 ı N
und ¥ D 89 ı N. Allgemein gilt für einen Kreis des
Radius r: U D 2  r. Der Abstand zur Erdachse in
Abhängigkeit vom Breitengrad ergibt sich durch: r D
r E cos ¥ D a .1 . fsin 2 ¥// cos ¥ , wobei r E der Radius
in Abhängigkeit vom Breitengrad ist, a der Erdradi-
us am Äquator: a D 6378;137 km, f D 0;003 353
die Abplattung und ¥ der Breitengrad. Auf dem Brei-
tengrad 1° N beträgt der Abstand zur Erdachse somit:
r .1 ı N / D a .1 . fsin 2 1 ı // cos 1 ı D 6377 km. Daraus er-
gibt sich ein Umfang von: U .1 ı N / D 2  r D 40 068 km. Auf
dem Breitengrad 89° N beträgt der Abstand zur Erdachse:
r .89 ı N / D a .1 . fsin 2 89 ı // cos 89 ı D 111 km. Daraus
ergibt sich ein Umfang von: U .89 ı N / D 2  r D 697 km.
Es soll entlang beider Breitengrade jeweils 1° zurückgelegt
werden. Die Länge x der gefahrenen Strecke verhält sich
zum Umfang wie 1° zum Vollwinkel 360°: x = U D 1 ı =360 ı ,
also x D U =360 . Für den Breitengrad 1° ergibt sich
eine Strecke von x D 40 068 km =360 D 111;3 km.
Für den Breitengrad 89° ergibt sich eine Strecke von
x D 697 km =360 D 1;94 km. Die Differenz beider Stre-
cken ist somit 111;3 km 1;94 km D 109;36 km.
Mit r E D 6371 km, a D 13 000 kgm 3 und b D
9000 kgm 3 erhält man M E D 6;770 10 24 kg und so-
mit eine Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche von
11;13 ms 2 . Für das Schalenmodell gilt:
¡ K D 2700 kgm 3 I
r K D 6347
Kruste:
km C 24
km D 6371
km I
¡ M D 5000 kgm 3 I
r M D 3480 km C 2867 km D 6347 km I
Mantel:
¡ äK D 11 000 kgm 3 I
r äK D 1222 km C 2259 km D 3481 km I
Äußerer Kern:
¡ iK D 13 000 kgm 3 I
r iK D 1222 km :
Innerer Kern:
Mit dem Kugelvolumen V D 4  r 3 =3 ergibt sich für die Erd-
masse:
3
Œ r iK ¡ iK C . r äK r iK äK C . r M r äK M
C . r E r M K D 6;462 10 24 kg :
M E D
Daraus ergibt sich eine Schwerebeschleunigung an der Erd-
oberfläche von g D 10;63
ms 2 .
Für Punkte an bzw. über der Erdoberfläche wirkt sich die
Massenverteilung in der Erde so aus, als wäre die Gesamt-
masse im Erdmittelpunkt konzentriert. Daher könnte durch
geeignete Anpassung einer mittleren Dichte bzw. einer ande-
ren linearen Dichteverteilung derselbe Schwerewert erreicht
werden wie mit der komplexeren radialen Dichteverteilung.
Für die Berechnung der Schwerebeschleunigung an im In-
nern der Erde gelegenen Punkten ist die genaue Verteilung
der Dichte jedoch entscheidend.
4.5 Bestimmen Sie die Erdanziehungskraft an der Oberflä-
che unter der Annahme, die Erde sei eine Kugel. Berechnen
Sie die Erdanziehung für ein Modell der linearen Zunahme
der Dichte mit der Tiefe: ¡ D 13 000
kgm 3
( r = r E )wo 0 r r E ( r E : sphärischer Erdradius) und für das
folgende Schalenmodell der Dichte: Kruste - 2700
kgm 3 - 9000
kgm 3 ;
Mantel - 5000 kgm 3 ; äußerer Kern - 11 000 kgm 3 ; inne-
rer Kern - 13 000
kgm 3 . Wieso haben beide Modelle ihre
Berechtigung?
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