Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 367

4.1 Eratosthenes ( 275 - 195 v. Chr.) bestimmte den Erdum-
fang aus der Beobachtung des mittäglichen Einfallswinkels
der Sonnenstrahlen in Alexandria und Syene, dem heutigen
Assuan. Unter der Annahme, Alexandria und Syene lägen auf
dem gleichen Meridian (tatsächlich: 31 ° 13 0 N ; 29 ° 55 0 E und
24 ° 05 0 N ; 32 ° 56 0 E ), fand er für diese zwei Orte in 5000 Sta-
dien Entfernung eine Winkeldifferenz von einem Fünfzigstel
eines Kreises. Ein griechisches (genauer: Athener) Stadion
entspricht einer Länge von etwa 185 m .
(a) Bestimmen Sie aus diesen Beobachtungen den Erdum-
fang und den Erdradius.

wicht von ca. 588,6N. Auf dem Mond beträgt sein Gewicht
nur 97,44N. Eine auf die irdische Schwerebeschleunigung
kalibrierte Waage würde auf dem Mond für die Person mit
der Masse 60 kg eine Masse von m D

N
9;81 ms 2 D
9;93 kg anzeigen. Auf dem Saturn beträgt die Schwerebe-
schleunigung

W Mond
g Erde

97;44

D

D G M Saturn
r Saturn

g Saturn

568;8 10 24 kg
.60;268 10 6 / 2 m 2

D 6;674 28 10 11 m 3 kg 1 s 2

ms 2 : D 10;45

R

δ

Somit besitzt die gleiche Person auf dem Saturn ein Gewicht
von 627N. Die auf der Erde kalibrierte Waage würde dem-
nach eine Masse von m D

Sonne

a

δ

627 N

9;81 ms 1 D 63;91 kg anzeigen.

4.3 Ein kleiner Mond mit der Masse m und dem Radius a
umkreist einen Planeten mit der Masse M . Der Mond zeigt
immer mit derselben Seite zum Planeten. Bestimmen Sie jene
kritische Entfernung r krit (den Radius der Mondumlaufbahn)
als Funktion von m , M und a , bei der lose auf dem Mond
liegende Steine angehoben werden.
Damit ein Stein der Masse m S auf dem Mond angehoben
wird, muss die Anziehung des Planeten auf den Stein größer
sein als die Anziehung, die der Mond selbst auf den Stein
ausübt. Es muss also gelten:

Die Abweichung zwischen den Einfallswinkeln der Sonnen-
strahlen beträgt • D 360 ı =50 D 7;2 ı . Die Distanz a zwi-
schen Alexandria und Syene beträgt a D 5000 0;185 km D
925 km. Der Umfang U des (Erd-)Kreises mit Radius R be-
trägt: U D 2 R. Ein Kreisbogen verhält sich zum Umfang
des gesamten Kreises, wie der Winkel • zum Vollwinkel
360°. Also gilt: a = U D •=360 ı . Der Umfang einer sphäri-
schen Erde ergibt sich somit zu U D a 360=• D 46 250 km
und ihr Radius zu R D U =.2 / D 7360;916 km.
(b) Wieso weicht der von Eratosthenes bestimmte Erdum-
fang vom tatsächlichen Umfang ab?
Der berechnete Wert weicht vom tatsächlichen Wert ab,
da Alexandria und Syene nicht auf einem Längengrad liegen,
da sowohl Entfernung als auch Winkel nicht hinreichend ge-
nau bestimmt wurden. Zudem ist die Erde keine perfekte
Kugel und ein Meridian somit kein perfekter Kreis.

. r c a / 2 > G m s m

m s M

G ;

a 2

also:

Ma 2
m >. r krit a / 2 :

m
a 2 . r krit a / 2

M > bzw.

4.2 Welches Gewicht zeigt eine Waage an, wenn sich eine
Person von 60 kg auf dem Mond und auf dem Saturn wiegt?
Das Gewicht ist durch W D mg gegeben, wobei m
die Masse des Körpers und g die Schwerebeschleunigung
am Ort der Wägung sind. Auf dem Mond und dem Saturn
wirken andere Schwerebeschleunigungen als auf der Erde.
Allgemein gilt mit der universellen Gravitationskonstanten
G: g D GM = r 2 . Für den Mond gilt mit den Werten G sowie
für M und r aus Tab. 1.2 :

q Ma 2
m

Somit folgt: r krit < C a.

4.4 Die Quelle des Mississippi liegt etwa 6 km näher am
Erdmittelpunkt als seine Mündung. Die Quelle liegt auf einer
geografischen Breite von ¥ D 47 ı N und einer Höhe von
450

m über NN. Die Mündung liegt auf einer geografischen
Breite ¥ D 29 ı N und einer Höhe von 0 m über NN.
(a) Erklären Sie das Phänomen qualitativ und quantitativ.
Die Quelle des Mississippi auf der Nordhalbkugel der
Erde liegt weiter nördlich als seine Mündung. Wegen der
Abplattung f der Erde nimmt der Erdradius von Süden nach
Norden hin ab. Daher ist es möglich, dass die Quelle des
Mississippi näher am Erdmittelpunkt liegt als seine Mün-
dung und sich trotzdem auf einem topographisch höheren
Niveau befindet. Der Erdradius r E variiert mit dem Breiten-
grad

g Mond D G M M
r M

735 10 20 kg
.1;738

D 6;674 28 10 11 m 3 kg 1 s 2

10 6 / 2 m 2

ms 2 :

D 1;624

Ein Körper der Masse 60 kg besitzt auf der Erde bei einer
mittleren Schwerebeschleunigung von 9;81 ms 2 ein Ge-

. Mit dem Erdradius a am
Äquator a D 6378;137 km, der Abplattung f

¥ :r E D a .1 . fsin 2 ¥//

D 0;003 353 ,