Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 364

Argon als auch zu Calcium. Wird hierdurch die Stabi-
lität der Wand gefährdet? Der Anteil des radioaktiven
Kaliums am Isotopengemisch beträgt 0;012 % (siehe Ab-
schn. 2.2.1.2 (ii)). Die Halbwertszeit der gesamten Zerfälle
von Kalium zu Argon und Calcium beträgt 1;26 Milliarden
Jahre, die Zerfallskonstante für den Zerfall von 40 K zu Ar ist
œ D 0;581 10 10 a 1 (Tab. 2.1 ) .
(a) Ermitteln Sie auf dieser Grundlage, mit welcher For-
mel sich der verloren gegangene Anteil Kalium als Funktion
der Zeit t darstellen lässt.
Die Kaliumkonzentration zu verschiedenen Zeitpunkten
ergibt sich aus der Zerfallsgleichung: Π40 K t

gleich:

œ Ar

œ ges Œ n 40 K 0 . e œ ges t

n Ar D 1/

D 0;105 0;15 mol 5;543 10 8
D 8;730 10 10 mol :

Die Anzahl an Atomen ergibt sich schließlich durch Mul-
tiplikation dieser Stoffmenge mit der Avogadro-Konstanten
N A zu

D Œ 40 K 0 e œ t .

N Ar D n Ar N A D 8;730 10 10 mol 6;022 10 23 mol 1
D 5;257 10 14 :

Der Verlust an Kalium ist gleich

Œ 40 K tot D Œ 40 K 0 Œ 40 K t D Œ 40 K 0 .1 e œ t

/:

5;257 10 14 Argonatome aus dem
Zerfall von 40 K entstanden.

In 100 Jahren sind also

Die Zerfallskonstante für den gesamten Zerfall ist

T 1=2 D 5;543 10 10 a 1 t œ ges D œ Ca C œ Ar D ln 2= 2.5 Welches sind die beiden Prozesse, die Lord Kelvin (und

allen anderen ebenso) gegen Ende des 19: Jahrhunderts noch
nicht bekannt waren, und deren Nichtberücksichtigung zu
seiner enormen Unterschätzung des Erdalters auf

(Tab. 2.1 ) . Setzt man œ ges in obige Gleichung ein, so erhält
man:

100 Mil-

lionen Jahre führten?
Kelvin schätzte das Alter der Erde aus ihrer Abkühlung
aus geschmolzenem Zustand durch Lösen der instationären
Wärmediffusionsgleichung. Zu diesem Zeitpunkt kannte er
jedoch weder die hierbei entscheidende Wärmeproduktion,
bewirkt durch den Zerfall instabiler radioaktiver Elemen-
te: Dieser wurde erst im Jahr 1898 durch Henri Becquerel
entdeckt. Auch sah er keinen durch freie Konvektion ange-
triebenen, advektivenWärmetransport im Erdmantel vor, der
erst 1931 von Arthur Holmes postuliert wurde.

Œ 40 K tot D Œ 40 K 0 Œ 40 K t D Œ 40 K 0 .1 e œ ges t

/

D 0;012 % .1 e 5;543 10 10 t /:

(b) Wie viel Prozent des gesamten Kaliums sind nach 100
Jahren durch radioaktiven Zerfall verloren gegangen und
welcher Masse entspricht dies?

Π40 K tot D 0;012 % .1 e 5;543 10 10 a 1 100 a /

D6;65 10 10 % :

3.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass Kompressionswellen
schneller als Scherwellen sind.
Die Geschwindigkeiten von Komp ressions- und Scher-
wellen sind definiert durch

Das entspricht einem Masseverlust von

D q E
¡

Π40 K tot D50 kg 6;65 10 12
D3;33 10 10 kg D333 g :

1
.1 C / .1 2/

' sowie

“ D q E
¡

1
2.1 C /

. Somit beträgt ihr Verhältnis:

Dies wird die Stabilität der Wand nicht beeinträchtigen.
(c) Wie viele Argonatome sind in dieser Zeit entstanden?
Die Masse an 40 Kbeträgtm D 50 kg 0;000 12 D 6 g.
Mit der Molmasse m mol D 40 g = mol von 40 K ergibt sich
die entsprechende Stoffmenge zu n D m = m mol

s E
¡

. s E
¡

'
“

1
.1 C / .1 2/

1
2.1C /

D

s

r

1
2

D 0;15 mol.

2.1C / ı 2 1 C ı 1

2

D D >1:

Diese entspricht einer 40 K-Teilchenzahl von

mol 6;022 10 23 mol 1
D 9;033 10 22 ;

N D nN A D 0;15

Somit ist '>“ .

3.2 Für die meisten Gesteine variieren Dichte, Elasti-
zitätsmodul und Poisson-Zahl in folgenden Bereichen:
2000 kgm 3 ¡ 3000 kgm 3 ; 12 GPa E 110 GPa ;
0;04 0;3 . Bestimmen Sie hiermit aus der entspre-
chenden Variation der Kompressionswellengeschwindigkeit,

wobei N A die Avogadro-Konstante ist (Tab. 7.6 ) . Es zerfällt
nur der Bruchteil œ Ar =.œ Ca œ Ar / D 0;105 des ursprünglich
vorhandenen radioaktiven Kaliums zu Argon. Die Stoffmen-
ge an Argon, die nach 100 Jahren entstanden ist, ist daher