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unter Beachtung von d
V
D
d
¡=¡
2
:
Hierbei bezeichnet T
Rand
die Temperatur des beheizten bzw.
gekühlten Rands und T
ref
eine Bezugstemperatur, meist die
mögliche Maximal- bzw. Minimaltemperatur.
Hierbei wird die Lösung wie bei Turcotte und Schubert
ten eines konkret realisierten Modells gesucht. Daher werden
die Vertikalkoordinate z und die Zeit t bzw. die Tempera-
tur T
.
x
;
z
/
mit Hilfe der Ähnlichkeitsvariablen
—
bzw. der
Rand- und Bezugstemperaturen T
Rand
und T
ref
entdimensio-
nalisiert:
@
s
@
T
@
s
@
V
Ds
Dt
D
DT
Dt
C
D
Dt
V
„ ƒ‚ …
Dc
V
=
T
.6:14
b
/
T
„ ƒ‚ …
D
'
K
T
.6:12
b
/
(7.57)
c
V
T
DT
Dt
C '
K
T
D
Dt
:
D
¡
T
Ds
.
T
;
V
/
Dt
D ¡
c
V
DT
Dt
C ¡'
TK
T
D
Dt
D ¡
c
V
DT
z
T
T
ref
T
R
T
ref
:
— D
p
›
t
und
‚ D
(7.60)
'
TK
T
¡
D
Dt
Dr
q
C
A
C ˆ:
(7.58)
2
Dt
.
;
/
z
t
zu einer gewöhnlichen Differenzialglei-
valente Formulierungen des Sachverhalts, dass die Entropie
in der Erde keine Erhaltungsgröße ist, da sie aufgrund irre-
versibler Energiedissipation durch zähe Reibung und Wär-
meleitung sowie durch interne radioaktive Wärmeprodukti-
on zunimmt.
chung in
‚.—/
:
d
2
‚
d
—
2
;
d
d
—
1
2
—
D
(7.61)
deren Randbedingungen
‚.— D 0/ D 1
und
‚.1/ D 0
sind.
d
d
und
—
erhält damit die neue Gleichung
7.11.2 Beheizung oder Kühlung eines
homogenen Halbraums von oben
1
2
d
§
d
§
;
—
d
— D
(7.62)
Eine Reihe wichtiger thermischer Fragestellungen können
durch Lösung der eindimensionalen Wärmediffusionsglei-
chung
deren Integration
—
2
D
ln
§
C
K
1
ergibt. So wie bei
der Definition von
—
der Faktor
2
gewählt wurde, damit
kürzt, wird nun die Integrationskonstante ebenfalls für das
Ergebnis günstig gewählt: K
1
D
ln c
1
. Damit erhält man:
‰ D
@
@
t
D ›
@
2
T
T
(7.59)
@
z
2
—
D
c
1
e
—
2
. Die Integration dieser Gleichung ergibt:
R
d
‚ D ‚ C
c
2
D
c
1
R
0
e
x
2
dx bzw.
‚ D
c
1
R
0
e
x
2
dx
C 1
,
wobei die Randbedingung
‚.— D 0/ D 1
benutzt wurde,
um die zweite Integrationskonstante zu c
2
D1
d
d
für einen von oben beheizten oder gekühlten Halbraum be-
antwortet werden. Beispiele sind die Auskühlung der ozea-
nischen Lithosphäre bzw. einer magmatischen Intrusion, die
Diffusion klimabedingter Temperaturschwankungen an der
Erdoberfläche in die Tiefe oder die berühmte Schätzung des
Alters der Erde im Jahr 1864 durch Lord Kelvin auf et-
wa 65 Millionen Jahre (welche sich allerdings wegen der
im Jahr 1896 von Antoine Henri Becquerel (1852-1908) an
Uranmineralen entdeckten Radioaktivität und der damit ver-
bundenen Wärmeproduktion der Gesteine nachträglich als
unzutreffend herausstellte
79
).
Randbedingungen genügen: T
.
z
zu bestim-
men. Aus der zweiten Randbedingung
‚.1/ D 0
folgt:
0 D
c
1
R
0
e
x
2
dx
C 1
. Mit dem bekannte
n
Wert der Feh-
lerfunktion erf
.1/ D 1
gilt
R
0
p
2
e
x
2
dx
D
. Damit erhält
man die Konstante c
1
D
p
, und schließlich den gesuch-
ten Ausdruck für die Temperatur
‚.—/
bzw. T
.
z
/
:
Z
—
p
e
x
2
dx
‚.—/ D 1
>0;
t
D
0/
D
T
ref
;
0
T
.
z
D 0;
t
>0/D
T
Rand
;T
.
z
!1;
t
>0/D
T
ref
.
D 1
erf
.—/ D
erfc
.—/
bzw.
z
(7.63)
p
79
Kelvin hatte in seiner Arbeit den Einfluss bislang noch nicht entdeck-
ter wärmeproduzierender chemischer Reaktionen zwar erörtert, konnte
diese jedoch naturgemäß in seinen Berechnungen nicht berücksichti-
mit der Mantelkonvektion einhergehende advektive Wärmetransport in
Richtung der Unterkante der Lithosphäre noch unbekannt (siehe Ab-
Z
2
›
t
T
.
z
/
T
ref
T
Rand
T
ref
D 1
p
e
x
2
dx
0
D 1
erf
D
erfc
z
z
p
p
:
2
›
t
2
›
t
