Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 352

völlig unterschiedliche Strömungsregime, je nachdem ob
Trägheits- oder zähe Reibungskräfte einer Bewegung entge-
genwirken. Eine solche von den jeweiligen Dimensionen und
Größenordnungen unabhängige Bewertung ermöglicht eine
Dimensionsanalyse.
Hierzu werden aus den dimensionsbehafteten Größen x i ,
v , und t mit Hilfe der für sie charakteristischen Skalie-
rungsgrößen Œ x , Œ v und Œ x =Œ v die entsprechenden entdi-
mensionalisierten Variablen x i , v und t berechnet (siehe
Abschn. 1.3 ) : x i D x i Πx , v D v Πv und t D t Πx =Πv .
Der Druck p kann auf die Druckunterschiede normiert wer-
den, welche entweder durch Reibungs- oder Trägheitskräfte
verursacht werden: Œ p r D Œ v =Œ x oder Œ p t D ¡Œ v 2 .
Wählt man den zweiten Fall und identifiziert in ( 7.24 ) die
Beschleunigung a mit der Schwerebeschleunigung g ,wel-
che den hydrostatischen Druck p 0 definiert, gilt für diesen
r p 0 D ¡ g ,womitmanp p 0 D p Œ v 2 ¡ erhält. Für die ent-
dimensionalisierten Ableitungen gilt: @=@ t D .Πv =Πx /@=@ t ;
@=@ x i D .1=Πx /@=@ x i bzw. rD.1=Πx /r ; @ 2 =@ x i D
.1=Πx 2 /@ 2 =.@ x i / 2 bzw. r 2 D D .1=Πx 2 /.r / 2 D
.1=Œ x 2 / . Eingesetzt in ( 7.24 ) erhält man schließlich die
entdimensionalisierte Form der Navier-Stokes-Gleichung:

tung des Verschiebungsvektors D ( 3.31 )

@ v i
@ x k C

@ v k
@ x i

D ik ;

£ ik D D 2 (7.26)

und der zweite Term der Reibungskräfte in ( 7.22 ) verschwin-
det, welcher durch Änderungen des Volumens hervorgerufen
wird. Damit vereinfacht sich die Impulsgleichung ( 7.22 ) zu:

@ v

@ t C . v r/ v D 1 ¡

„ƒ‚…

¡ r p C g C

v ; (7.27)

wobei als Volumenkraft wiederum die Schwerebeschleuni-
gung g verwendet wurde und D =¡ die kinematische
Viskosität bzw. Impuls-Diffusivität in m 2 s 1 ist. In entdi-

mensionalisierter Form lautet ( 7.27 ) :

@ v
@ t

C v r v Dr p C

Re v :

(7.28)

Eine inkompressible Strömung wird somit vollständig durch
ein System zweier partieller Differenzialgleichungen für Ge-
schwindigkeit v und Druck p in Abhängigkeit von Ort und
Zeit beschrieben. Die Energieerhaltung wird daher nicht zum
Schließen des Systems benötigt.
Die Gleichung ( 7.27 ) wirdoftals die Navier-Stokes-
Gleichung bezeichnet, weil sie die am besten untersuchte
und in der Praxis am häufigsten benutzte ist. Sie gilt für
viele wichtige Strömungsprobleme, beispielsweise für Luft-
strömungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit, für
Wasserströmungen sowie für flüssige Metalle und geschmol-
zenes Gestein. Sobald sich die Dichten der betrachteten
Fluide jedoch stark ändern, beschreibt die inkompressible
Form der Navier-Stokes-Gleichung die Wirklichkeit nicht
mehr hinreichend. In diesem Fall muss sie durch die voll-
ständige Navier-Stokes-Gleichung ( 7.22 ) oder ( 7.24 ) bzw.
( 7.25 ) ersetzt werden. Beispiele sind Überschallströmungen,
das Aufsteigen heißer Luft, der Transport von Plasma in der
Magnetosphäre oder die freie Konvektion im flüssigen äuße-
ren Erdkern.
Weil die Navier-Stokes-Gleichung schwierig zu lösen ist,
sucht man diese in Anwendungen zu vereinfachen, soweit
dies physikalisch sinnvoll ist. Kann z. B. Reibung vernach-
lässigt werden ( D 0 ; — D 0 ) und strömt das Fluid unter
der Einwirkung der Schwerkraft ¡ g , so erhält man aus ( 7.22 )
wiederum die Euler-Gleichung:

Πv v

Πx r Πv v

@Πv v
@ t

¡ Œ v
Πx

1

C ¡

v r v

¡Œ v 2
Πx

@ v
@ t

¡Œ v 2
Πx

D C

r
Πx

Πv v

r
Πx

D 1

Œ x 2 .Œ v v / C 3 Œ x r ¡Œ v 2 p C

D ¡Œ v 2
Πx

Πv
Πx 2 v C

Πv
3Πx 2 r .r v /;

r p C

also:

@ v
@

C v r v

t

(7.25)

Re 1

3 r .r v /

Dr p C v C

;

wobei Re D Œ x Œ v ¡= D Œ x Œ v = die Reynolds-Zahl ist,
welche das gesuchte Verhältnis von Trägheits- zu Reibungs-
kräften ausdrückt (siehe auch Kasten 1.2 ) , wobei in der
Normierung des Drucks der hydrostatische Druck eliminiert
wurde.
Die am häufigsten verwendete Form ist die inkompres-
sible Navier-Stokes-Gleichung. Eine Strömung wird als in-
kompressibel bezeichnet, wenn sich die Dichte entlang der
Teilchenbahnen nicht ändert. Flüssigkeiten können in guter
Näherung als inkompressibel betrachtet werden, Gase dage-
gen nicht. Aus der Inkompressibilität ergibt sich als wichtige
Folgerung, dass das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist:
r v D @ v i =@ x i D 0 . Dann vereinfacht sich der Tensor der
reduzierten Spannung ( deviatoric stress )in( 7.16 ) auf den
Beitrag des Tensors der Deformationsrate

@ v

@ t C . v r/ v D 1

¡ r p C g :

(7.29)

7.10.3 Stokes-Strömung

Bei geodynamischen Problemen, wo der Mantel der Erde
oder anderer terrestrischer Planeten als eine extrem zähe, in-

D , der Zeitablei-