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Die entsprechende Vektorgleichung ist die
Navier-Stokes-
Gleichung
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(7.19)
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C
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„ ƒ‚ …
œ
In einem stokesschen Fluid kommt es nur zu Scher- und
nicht zu Volumenverzerrung. Somit verschwinden die redu-
zierten Spannungen auf der Hauptachse von
£
ik
(
£
ii
D 0
;
i
D 1; 2; 3
), und die Spur von
£
ik
muss gleich null sein. Aus
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C
C
C
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wobei die Differenz
œ D —
3
, welche Scherungs- und
Volumenzähigkeiten zusammenfasst, auch als „zweite Vis-
kosität“ bezeichnet wird. In Operator-Schreibweise ergibt
sich damit für alle Komponenten:
—
2
div
v
D 0:
£
11
C £
22
C £
33
D 2
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(7.23)
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Hieraus folgt, dass
— D 0
ist bzw.
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3
(die sogenann-
te stokessche Hypothese). Damit lautet die Navier-Stokes-
Gleichung:
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(7.24)
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Cr£;
(7.20)
algleichungen zweiter Ordnung, zu deren Vervollständigung
es noch des Massenerhaltungssatzes (der Kontinuitätsglei-
chung) und des Energieerhaltungssatzes bedarf. Je nach wei-
teren Annahmen, die bezüglich des Fluids gemacht wer-
den, ergibt sich das vollständige System in unterschiedlicher
Form.
gesetzt wird, dass die Zähigkeiten
und
I
die Einheitsmatrix I
ik
D •
ik
.
bezüglich der viskosen Verformung analog zu jenen der elas-
nicht identisch mit diesen. Da die viskose im Unterschied
zur elastischen Verformung nicht direkt von der Dehnung,
sondern von ihrer Rate abhängt, ist die Einheit der Visko-
sität Pa s und nicht Pa wie die der elastischen laméschen
Konstanten.
Oft sind die Variationen der Zähigkeiten
und
—
genü-
gend klein, um vernachlässigt zu werden, und die Zähigkei-
ten können vor die Ableitungen gezogen werden. Man erhält
—
vernachlässigbar
wenig variieren, ist die Navier-Stokes-Gleichung aufgrund
der recht vielen Terme und Materialeigenschaften noch recht
kompliziert. Es ist daher aufschlussreich zu bewerten, un-
ter welchen Bedingungen einige dieser Terme gegenüber
anderen vernachlässigbar sind. Zum Beispiel ergeben sich
und