Geoscience Reference
In-Depth Information
man:
dann für die erste Komponente (i D 1 )von( 7.17 ) aus( 7.19 ) :
@
v 1
@ t C . v r/
@
¡
v 1
v 1
@ t
D @
p
@ x 1
¡
C . v r/
v 1
C ¡
a 1
@ 2 v 1
@ x 1
@ 2 v 1
@ x 2
@ 2 v 1
@ x 3
@ p
@ x 1
!
D
C ¡ a 1 C
C
C
@ v 1
@ x 1
@
@ x 1
2 @ v 1
@ x 1
2
3
@ v 2
@ x 2
@ v 3
@ x 3
„ƒ‚…
r 1 p
ƒ‚
C
C
C
(7.21)
rr
v 1 Dr 2 v 1 D
v 1
ƒ‚
@ 2 v 1
@ x 1
C
@ 2 v 2
@ 2 v 3
3
div v
— C
C
C
:
@ v 1
@
@ v 1
@
@
x 1 @
x 2
@
x 1 @
x 3
@
@
@ v 2
@
@
@
@ v 3
@
„ ƒ‚ …
œ C
ƒ‚
C
C
C
C
x 2
x 2
x 1
x 3
x 3
x 1
r 1 r
v
!
Die entsprechende Vektorgleichung ist die Navier-Stokes-
Gleichung :
@ v 1
@ x 1
(7.19)
@
@ x 1
@ v 2
@ x 2
@ v 3
@ x 3
C
C
C
@ v
@ t C . v r/ v
ƒ‚
¡
Dr p C ¡ a C v
C
div v
div v !
(7.22)
r.r v /;
3
D @ p
@ x 1
@
@ x 1
2 @ v 1
@ x 1
2
3
— C
C ¡ a 1 C
C
„ ƒ‚ …
œ
wobei der Laplace-Operato r 38 ist.
In einem stokesschen Fluid kommt es nur zu Scher- und
nicht zu Volumenverzerrung. Somit verschwinden die redu-
zierten Spannungen auf der Hauptachse von £ ik ( £ ii D 0 ;
i D 1; 2; 3 ), und die Spur von £ ik muss gleich null sein. Aus
( 7.16 ) folgt für diesen Fall:
@ v 1
@ x 2
@ v 1
@ x 3
@
@ x 2
@ v 2
@ x 1
@
@ x 3
@ v 3
@ x 1
C
C
C
C
;
wobei die Differenz œ D — 3 , welche Scherungs- und
Volumenzähigkeiten zusammenfasst, auch als „zweite Vis-
kosität“ bezeichnet wird. In Operator-Schreibweise ergibt
sich damit für alle Komponenten:
2
div v D 0:
£ 11 C £ 22 C £ 33 D 2
div v C 3
3
„ ƒ‚ …
œ
(7.23)
@ v
@
t C . v r/ v
Dv i
Dt D ¡
¡
Hieraus folgt, dass — D 0 ist bzw. œ D 3 (die sogenann-
te stokessche Hypothese). Damit lautet die Navier-Stokes-
Gleichung:
£
C .œ r v / I !
…„
ƒ
r v C .r v /
T
Dr p C ¡ a Cr
@ v
@ t C . v r/ v
ƒ‚
3 r.r v /:
(7.24)
¡
Dr p C ¡ a C v C
2 D
Dr p C ¡ a Cr£;
(7.20)
Allgemein beschreibt die Navier-Stokes-Gleichung ( 7.22 )
bzw. ( 7.24 ) ein System nichtlinearer, partieller Differenzi-
algleichungen zweiter Ordnung, zu deren Vervollständigung
es noch des Massenerhaltungssatzes (der Kontinuitätsglei-
chung) und des Energieerhaltungssatzes bedarf. Je nach wei-
teren Annahmen, die bezüglich des Fluids gemacht wer-
den, ergibt sich das vollständige System in unterschiedlicher
Form.
Auch in der Form von ( 7.24 ) , bei der ja bereits voraus-
gesetzt wird, dass die Zähigkeiten
wobei D wie in ( 7.18 ) der Tensor der Deformationsrate ist
und I die Einheitsmatrix I ik D • ik .
Die Koeffizienten und œ sind die laméschen Konstanten 14
bezüglich der viskosen Verformung analog zu jenen der elas-
tischen Verformung (siehe Abschn. 3.1.2 ) . Sie sind jedoch
nicht identisch mit diesen. Da die viskose im Unterschied
zur elastischen Verformung nicht direkt von der Dehnung,
sondern von ihrer Rate abhängt, ist die Einheit der Visko-
sität Pa s und nicht Pa wie die der elastischen laméschen
Konstanten.
Oft sind die Variationen der Zähigkeiten und genü-
gend klein, um vernachlässigt zu werden, und die Zähigkei-
ten können vor die Ableitungen gezogen werden. Man erhält
vernachlässigbar
wenig variieren, ist die Navier-Stokes-Gleichung aufgrund
der recht vielen Terme und Materialeigenschaften noch recht
kompliziert. Es ist daher aufschlussreich zu bewerten, un-
ter welchen Bedingungen einige dieser Terme gegenüber
anderen vernachlässigbar sind. Zum Beispiel ergeben sich
und
 
 
 
 
 
Search WWH ::




Custom Search