Anhang - Einfuhrung in die Geophysik - page 346

@ @

U U

@

G . T ; p / D U V S D U C pV TS

@ V S

S V

„ ƒ‚ … „ ƒ‚ …

T p

dG . T ; p / D T dS pdV
„ ƒ‚ …
dU . S ; V /

C pdV C Vdp TdS SdT

D SdT C Vdp : (7.4)

Da Änderungen der gibbsschen Energie Prozesse antreiben,
ist sie von besonderem Interesse in der globalen Geophysik.
Es sind auch Übergänge mit dem Austausch nur einer Va-
riablen möglich. So gilt beispielsweise für den Übergang von
der inneren Energie U . S ; V / zur freien Helmholtz-Energie
F . T ; V / in Abwesenheit chemischer Reaktionen:

Abb. 7.1 Die Legendre-Transformierte der punktweise vorgegebenen
Funktion y D x 2 C 1 ( blaue Kurve ) mit der Steigung ¢ D 2 xistdie
Menge der durch die Tangenten £.¢/ D y 2 x 2 ( rote Geraden ) und
zugehörigen Y-Achsenabschnitte definierten Punkte ( rote Kreise )

@ U
@ S

F . T ; V / D U S D U TS

V
„ ƒ‚ …
T

(7.5)

dF . T ; V / D T dS pdV
„ ƒ‚ …
dU

TdS SdT

erläutert und danach auf Funktionen zweier Veränderlicher
übertragen werden.
Ist y . x / eine Funktion von x, dann ist ¢ D dy = dx die Stei-
gung ihrer Tangente

. S ; V /

D SdT pdV ;

am Punkt x, welche die y-Achse im
Punkt .0; £.0// schneidet (Abb. 7.1 ) . Ihre Geradengleichung
ist £.¢/ D y . x / x ¢ . Diese Gleichung definiert die durch
y beschriebene Kurve als die Einhüllende ihrer Tangenten £ .
Allgemein gilt diese Definition auch mit umgekehrtem Vor-
zeichen: £.¢/ D x ¢ y . x / , in der Thermodynamik wird
jedoch üblicherweise die erste Vorzeichenkonvention ver-
wendet.
Im zweidimensionalen Fall wird, analog zum eindimen-
sionalen Fall, eine als Funktion f . x ; y / zweier Variablen defi-
nierte Fläche als Einhüllende ihrer Tangentenebenen £.¢; ¦/
dargestellt:

£

Und für den Übergang von der inneren Energie U . S ; V / zur
Enthalpie H . S ; p / :

@ U
@ V

H . S ; p / D U V D U C pV

S
„ ƒ‚ …

p

(7.6)

dH . S ; p / D T dS pdV
„ ƒ‚ …
dU

C pdV C Vdp

. S ; V /

D TdS C Vdp :

Da die Enthalpie ein Maß für die mechanische und nicht-
mechanische Arbeit ist, die ein System zu leisten vermag,
ist sie von praktischer Bedeutung insbesondere in Hinsicht
auf die Gewinnung von Erdwärme und deren Wandlung in
elektrische Energie.
Die Gleichungen ( 7.4 ) bis ( 7.6 ) sind die in den Tab. 6.1
und 6.3 aufgeführten thermodynamischen Zustandsfunktio-
nen und die gibbsschen Fundamentalgleichungen der Ther-
modynamik. Im Falle chemischer Reaktionen treten noch die
Terme P i dn i hinzu, wobei i die chemischen Potenziale
sind und n i die zugehörigen Stoffmengen.

@ f . x ; y /
@ x

@ f . x ; y /
@ y

£.¢; ¦/ D f . x ; y / x y : (7.3)

y x

Damit kann die Legendre-Transformation zur Ableitung der
thermodynamischen Potenziale aus den gibbsschen Funda-
mentalgleichungen der Thermodynamik (Tab. 6.3 ) verwen-
det werden bzw. zum Übergang zwischen den thermodyna-
mischen Potenzialen (Tab. 6.1 ) . Für den Übergang von der
inneren Energie U . S ; V / D TS p V zur Gibbs-Energie

G . T ; p / gilt somit: