Geoscience Reference
In-Depth Information
mit:
x
T
D
x
i
T
ik
¤
T
x
D
T
ik
x
k
, es sei denn,
T
ist symme-
Rang eines Tensors: Der Gradient eines Skalars (Tensor null-
ter Stufe) ist ein Vektor (Tensor erster Stufe), der eines
Vektors ein Tensor zweiter Stufe und der eines Tensors zwei-
ter Stufe ein Tensor dritter Stufe.
Die Divergenz eines Vektors ergibt einen Skalar:
trisch: T
ik
D
T
ki
.
Jeder Tensor
T
kann als Summe eines symmetrischen
Tensors T
.
ik
/
D
1
2
.
T
ik
C
T
ki
/
und eines antimetrischen Ten-
1
sors T
Œ
ik
D
2
.
T
ik
T
ki
/
dargestellt werden:
T
D
T
.
ik
/
C
T
Œ
ik
,
wobei die die Indices einschließenden runden und eckigen
Klammern jeweils die symmetrische bzw. antimetrische Ei-
genschaft anzeigen.
Das Tensorprodukt zweier Tensoren (
S
T
) ergibt einen
Tensor:
@
v
i
@
x
i
@
v
1
@
x
1
@
v
2
@
x
2
@
v
3
@
x
3
:
D
div
v
Dr
v
D
C
C
D
a
I
„ƒ‚…
in kartesischen
Koordinaten
0
1
0
1
Die Divergenz eines Tensors zweiter Stufe ergibt einen
Vektor:
S
11
S
12
S
13
T
11
T
12
T
13
@
A
@
A
D
S
ij
T
jk
S
T
D
S
21
S
22
S
23
T
21
T
22
T
23
S
31
S
32
S
33
T
31
T
32
T
33
0
1
@
T
11
@
T
21
@
T
31
@
x
3
0
1
@
x
1
C
@
x
2
C
S
11
T
11
C
S
12
T
21
C
S
13
T
31
S
11
T
12
C
S
12
T
22
C
S
13
T
32
S
11
T
13
C
S
12
T
23
C
S
13
T
33
@
A
@
T
ik
@
x
i
div
T
Dr
T
D
@
T
12
@
@
T
22
@
@
T
32
@
D
x
1
C
x
2
C
@
A
„ƒ‚…
in kartesischen
Koordinaten
x
3
@
T
13
@
x
1
C
@
T
23
@
x
2
C
@
T
33
@
x
3
S
21
T
11
C
S
22
T
21
C
S
23
T
31
S
21
T
12
C
S
22
T
22
C
S
23
T
32
S
21
T
13
C
S
22
T
23
C
S
23
T
33
D
0
1
v
1
v
2
v
3
S
31
T
11
C
S
32
T
21
C
S
33
T
31
S
31
T
12
C
S
32
T
22
C
S
33
T
32
S
31
T
13
C
S
32
T
23
C
S
33
T
33
@
A
D
v
:
D
D
U
ik
D
U
Das Skalarprodukt des Nablaoperators mit einem Tensor,
d. h. die Summe der Ableitungen seiner Spalten nach den
drei Ortskoordinaten, vermindert den Rang eines Tensors:
Die Divergenz eines Vektors
v
,
r
v
D
div
v
, ist die Spur
seines Gradienten
r
v
, also die Summe seiner Diagonalele-
mente (in kartesischen Koordinaten: div
v
D @
v
i
=@
x
i
). Die
Divergenz eines Tensors zweiter Stufe
T
,
r
T
D
div
T
,da-
gegen ist ein Vektor - in kartesischen Koordinaten:
@
T
ik
=@
x
i
.
Die Rotation eines Vektors ergibt einen Vektor:
Das Skalarprodukt zweier Tensoren (
S
W
T
; „double dot
product“) ergibt einen Skalar:
0
1
0
1
S
11
S
12
S
13
T
11
T
12
T
13
@
A
W
@
A
D
S
ik
T
ki
S
W
T
D
S
21
S
22
S
23
T
21
T
22
T
23
S
31
S
32
S
33
T
31
T
32
T
33
D
S
11
T
11
C
S
12
T
21
C
S
13
T
31
C
S
21
T
12
C
S
22
T
22
C
S
23
T
32
C
S
31
T
13
C
S
32
T
23
C
S
33
T
33
D
a
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
e
1
e
2
e
3
Die folgenden Regeln beziehen sich auf die Ableitung
von Tensoren nach den Ortskoordinaten. Hierbei gilt die
Operator-Schreibweise für alle orthogonalen Koordinaten-
systeme. Zusätzlich angegeben ist jeweils die spezielle für
ein kartesisches Koordinatensystem gültige Form:
Der Gradient eines Skalars ergibt einen Vektor:
@
@
x
1
@
@
x
2
@
@
x
3
rot
v
Dr
v
D
v
1
v
2
v
3
0
1
@
v
3
@
v
2
x
2
@
@
x
3
@
A
@
v
1
@
v
3
@
x
1
D
@
x
3
.
e
i
: Einheitsvektor in i-Richtung
/:
@
v
2
@
v
1
@
x
2
@
x
1
0
1
@
a
@
x
1
@
a
@
@
a
@
x
i
D
@
A
I
grad a
Dr
a
D
Zwischen den Differenzialoperatoren Gradient, Diver-
genz und Rotation bestehen die folgenden Beziehungen:
„ƒ‚…
in kartesischen
Koordinaten
x
2
@
a
@
x
3
Der Gradient eines Vektors ergibt einen Tensor zweiter
Stufe:
rot grad a
Drr
a
D 0.
ein Gradientenfeld ist wirbelfrei
/I
div rot
v
Drr
v
D 0.
ein Wirbelfeld ist quellenfrei
/I
0
1
@
v
1
@
v
2
@
v
3
@
x
1
@
x
1
@
x
1
@
A
I
@
v
k
@
D
Für einen Skalar ist der Laplace-Operator (in kartesischen
Koordinaten) definiert durch:
@
v
1
@
x
2
@
v
2
@
x
2
@
v
3
@
x
2
grad
v
Dr
v
D
„ƒ‚…
in kartesischen
Koordinaten
x
i
@
v
1
@
x
3
@
v
2
@
x
3
@
v
3
@
x
3
@
2
a
@
x
1
@
2
a
@
x
2
@
2
a
@
x
3
:
Die Anwendung des Nablaoperators auf einen Tensor, d. h.
die Ableitung nach den drei Ortskoordinaten, erhöht den
divgrada
Drr
a
D
a
D
C
C
